Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» - сложность 3-4 с решениями
<i>P</i> и <i>Q</i> – подмножества множества выражений вида (<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>), где <i>a<sub>i</sub></i> – натуральные числа, не превосходящие данного натурального числа <i>k</i> (таких выражений всего <i>k<sup>n</sup></i>). Для каждого элемента (<i>p</i><sub>1</sub>, ..., <i>p<sub>n</sub></i>) множества <i>P</i> и каждого элемента (<i>q</i><sub>1</sub>, ..., <i>q<sub>n</sub></i>) множества <i>Q</i> существует хотя бы один такой номер <i>m</i>, что...
По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел <i>a, b, c, d</i> произведение чисел <i>a – d</i> и <i>b – c</i> отрицательно, то числа <i>b</i> и <i>c</i> можно поменять местами. Докажите, что такие операции можно проделать лишь конечное число раз.