Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» для 8 класса

На плоскости дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная, в которой 31 звено (соседние звенья не лежат на одной прямой). Через каждое звено провели прямую, содержащую это звено. Получили 31 прямую, некоторые, возможно, совпали. Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?

Дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная из 37 звеньев. Через каждое звено провели прямую.

Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?

В некотором королевстве было 32 рыцаря. Некоторые из них были вассалами других (вассал может иметь только одного сюзерена, причём сюзерен всегда богаче своего вассала). Рыцарь, имевший не менее четырёх вассалов, носил титул барона. Какое наибольшее число баронов могло быть при этих условиях?

(В королевстве действовал закон: "вассал моего вассала – не мой вассал".)

Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 30×30, и в ней участвуют 20 разных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, однако, что

  1) любая фигура с любого поля бьёт не более 20 полей и

  2) если фигуру сдвинуть на несколько полей, то битые поля соответственно сдвигаются (может быть, исчезают за пределы поля).

Докажите, что

  а) любая фигура <i>F</i> бьёт данное поле <i>Х</i> не более, чем с 20 полей;

  б) можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.

Сколько существует разных способов разбить число 2004 на натуральные слагаемые, которые <i>приблизительно равны</i>? Слагаемых может быть одно или несколько. Числа называются <i>приблизительно равными</i>, если их разность не больше 1. Способы, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми.