Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» для 10 класса - сложность 3-4 с решениями

Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 100×100, и в ней участвует 20 различных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, что любая фигура с любого места бьет не более 20 полей (но больше о правилах ничего не сказано, например, если фигуру <i>А</i> передвинуть, то о том, как изменится множество битых полей мы ничего не знаем). Докажите, что можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.

Дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная из 37 звеньев. Через каждое звено провели прямую.

Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?

Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 30×30, и в ней участвуют 20 разных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, однако, что

  1) любая фигура с любого поля бьёт не более 20 полей и

  2) если фигуру сдвинуть на несколько полей, то битые поля соответственно сдвигаются (может быть, исчезают за пределы поля).

Докажите, что

  а) любая фигура <i>F</i> бьёт данное поле <i>Х</i> не более, чем с 20 полей;

  б) можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.