Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» для 9 класса - сложность 2-3 с решениями

Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек).

Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

В круговом шахматном турнире участвует 9 мальчиков и 3 девочки (каждый играет с каждым один раз, победа – 1 очко; ничья – 0,5; поражение – 0). Может ли в итоге оказаться, что сумма очков, набранных всеми мальчиками, будет равна сумме очков, набранных всеми девочками?

В шахматном турнире было 12 участников (каждый сыграл с каждым по одному разу). По итогам турнира оказалось, что есть 9 участников, каждый из которых набрал не более 4 очков. Известно, что Петя набрал ровно 9 очков. Как он сыграл с каждым из двух остальных шахматистов? (Победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0 очков.)

В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что каждый город соединен авиалиниями не более чем с тремя другими, и из каждого города можно попасть в любой другой, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее количество городов может быть в этом государстве?

Среди участников олимпиады каждый знаком не менее чем с тремя другими. Докажите, что можно выбрать группу из чётного числа участников (больше двух человек) и посадить их за круглый стол так, чтобы каждый был знаком с обоими соседями.

Докажите, что при любых натуральных  0 <<i>k</i><<i>m < n</i>  числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_2.gif">  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_3.gif">  не взаимно просты.

Рассмотрим все возможные наборы чисел из множества  {1, 2, 3, ..., <i>n</i>},  не содержащие двух соседних чисел.

Докажите, что сумма квадратов произведений чисел в этих наборах равна  (<i>n</i> + 1)! – 1.

Найти число решений в натуральных числах уравнения   [^<i>x</i>/₁₀] = [^<i>x</i>/₁₁] + 1.

Числа  1, 2, 3, ..., <i>n</i>  записываются в некотором порядке:  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a_n</i>.  Берётся сумма  <i>S</i> = ^<i>a</i>₁/₁ + ^<i>a</i>₂/₂ + ... + ^<i>a_n</i>/_<i>n</i>.  Найдите такое <i>n</i>, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂,...

На фестивале камерной музыки собралось шесть музыкантов. На каждом концерте часть музыкантов выступает, а остальные слушают их из зала. За какое наименьшее число концертов каждый из шести музыкантов сможет послушать (из зала) всех остальных?

Посёлок построен в виде квадрата 3 квартала на 3 квартала (кварталы – квадраты со стороной <i>b</i>, всего 9 кварталов). Какой наименьший путь должен пройти асфальтоукладчик, чтобы заасфальтировать все улицы, если он начинает и кончает свой путь в угловой точке <i>A</i>? (Стороны квадрата – тоже улицы).

Несколько фишек двух цветов расположены в ряд (встречаются оба цвета). Известно, что фишки, между которыми 10 или 15 фишек, одинаковы.

Какое наибольшее число фишек может быть?

В стране больше 101 города. Столица соединена авиалиниями со 100 городами, а каждый город, кроме столицы, соединён авиалиниями ровно с десятью городами (если <i>A</i> соединён с <i>B</i>, то <i>B</i> соединён с <i>A</i>). Известно, что из каждого города можно попасть в любой другой (может быть, с пересадками). Доказать, что можно закрыть половину авиалиний, идущих из столицы, так, что возможность попасть из каждого города в любой другой сохранится.

<i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀₁  – такая перестановка чисел  2, 3, ..., 102,  что <i>a</i>_<i>k</i> делится на <i>k</i> при каждом <i>k</i>. Найти все такие перестановки.