Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» для 5-9 класса - сложность 3 с решениями
Докажите, что при любых натуральных 0 <<i>k</i><<i>m < n</i> числа <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_2.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_3.gif"> не взаимно просты.
Рассмотрим все возможные наборы чисел из множества {1, 2, 3, ..., <i>n</i>}, не содержащие двух соседних чисел.
Докажите, что сумма квадратов произведений чисел в этих наборах равна (<i>n</i> + 1)! – 1.
Числа 1, 2, 3, ..., <i>n</i> записываются в некотором порядке: <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>. Берётся сумма <i>S</i> = <sup><i>a</i><sub>1</sub></sup>/<sub>1</sub> + <sup><i>a</i><sub>2</sub></sup>/<sub>2</sub> + ... + <sup><i>a<sub>n</sub></i></sup>/<sub><i>n</i></sub>. Найдите такое <i>n</i>, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>,...
В стране больше 101 города. Столица соединена авиалиниями со 100 городами, а каждый город, кроме столицы, соединён авиалиниями ровно с десятью городами (если <i>A</i> соединён с <i>B</i>, то <i>B</i> соединён с <i>A</i>). Известно, что из каждого города можно попасть в любой другой (может быть, с пересадками). Доказать, что можно закрыть половину авиалиний, идущих из столицы, так, что возможность попасть из каждого города в любой другой сохранится.
<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>101</sub> – такая перестановка чисел 2, 3, ..., 102, что <i>a</i><sub><i>k</i></sub> делится на <i>k</i> при каждом <i>k</i>. Найти все такие перестановки.
Среди актеров театра Карабаса Барабаса прошёл шахматный турнир. Каждый участник сыграл с каждым из остальных ровно один раз. За победу давали один сольдо, за ничью – полсольдо, за поражение не давалось ничего. Оказалось, что среди каждых трёх участников найдётся шахматист, заработавший в партиях с двумя другими ровно 1,5 сольдо. Какое наибольшее количество актеров могло участвовать в таком турнире?
В шахматном турнире участвовали гроссмейстеры и мастера. По окончании турнира оказалось, что каждый участник набрал ровно половину своих очков в матчах с мастерами. Докажите, что количество участников турнира является квадратом целого числа. (Каждый участник сыграл с каждым по одной партии, победа – 1 очко, ничья – ½ очка, поражение – 0 очков.)