Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями
Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек).
Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?
В футбольном чемпионате участвуют 18 команд. На сегодняшний день проведено 8 туров (в каждом туре все команды разбиваются на пары и в каждой паре команды играют друг с другом, причём пары не повторяются). Верно ли, что найдутся три команды, которые не сыграли ни одного матча между собой?
Дан правильный девятиугольник.
Сколькими способами можно выбрать три его вершины так, чтобы они являлись вершинами равнобедренного треугольника?
На какую наибольшую степень двойки делится число 10<sup>20</sup> – 2<sup>20</sup>?
В круговом шахматном турнире участвует 9 мальчиков и 3 девочки (каждый играет с каждым один раз, победа – 1 очко; ничья – 0,5; поражение – 0). Может ли в итоге оказаться, что сумма очков, набранных всеми мальчиками, будет равна сумме очков, набранных всеми девочками?
В шахматном турнире было 12 участников (каждый сыграл с каждым по одному разу). По итогам турнира оказалось, что есть 9 участников, каждый из которых набрал не более 4 очков. Известно, что Петя набрал ровно 9 очков. Как он сыграл с каждым из двух остальных шахматистов? (Победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0 очков.)
В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что каждый город соединен авиалиниями не более чем с тремя другими, и из каждого города можно попасть в любой другой, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее количество городов может быть в этом государстве?
Докажите, что при любых натуральных 0 <<i>k</i><<i>m < n</i> числа <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_2.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_3.gif"> не взаимно просты.
Рассмотрим все возможные наборы чисел из множества {1, 2, 3, ..., <i>n</i>}, не содержащие двух соседних чисел.
Докажите, что сумма квадратов произведений чисел в этих наборах равна (<i>n</i> + 1)! – 1.
Числа 1, 2, 3, ..., <i>n</i> записываются в некотором порядке: <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>. Берётся сумма <i>S</i> = <sup><i>a</i><sub>1</sub></sup>/<sub>1</sub> + <sup><i>a</i><sub>2</sub></sup>/<sub>2</sub> + ... + <sup><i>a<sub>n</sub></i></sup>/<sub><i>n</i></sub>. Найдите такое <i>n</i>, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>,...
В стране больше 101 города. Столица соединена авиалиниями со 100 городами, а каждый город, кроме столицы, соединён авиалиниями ровно с десятью городами (если <i>A</i> соединён с <i>B</i>, то <i>B</i> соединён с <i>A</i>). Известно, что из каждого города можно попасть в любой другой (может быть, с пересадками). Доказать, что можно закрыть половину авиалиний, идущих из столицы, так, что возможность попасть из каждого города в любой другой сохранится.
<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>101</sub> – такая перестановка чисел 2, 3, ..., 102, что <i>a</i><sub><i>k</i></sub> делится на <i>k</i> при каждом <i>k</i>. Найти все такие перестановки.
Найти количество нечётных чисел в <i>n</i>-й строке треугольника Паскаля.