Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» для 8 класса - сложность 2 с решениями

В классе $N$ школьников, среди них образовалось несколько компаний.<i>Общительностью</i>школьника назовём количество людей в наибольшей компании, куда он входит (если ни в одну не входит, то общительность равна $1$). Оказалось, что у всех девочек в классе общительность разная. Каково наибольшее возможное количество девочек в классе?

В школе провели турнир по настольному теннису. Турнир состоял из нескольких туров. В каждом туре каждый участник играл ровно в одном матче, а каждый матч судил один из не участвовавших в нем игроков. После нескольких туров оказалось, что каждый участник сыграл по одному разу с каждым из остальных. Может ли оказаться, что все участники турнира судили одинаковое количество встреч?

Имеется 21 ненулевое число. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что половина всех сумм положительна и половина – отрицательна. Каково наибольшее возможное количество положительных произведений?

Имеется несколько городов, некоторые из них соединены автобусными маршрутами (без остановок в пути). Из каждого города можно проехать в любой другой (возможно, с пересадками). Иванов купил по одному билету на каждый маршрут (то есть может проехать по нему один раз всё равно в какую сторону). Петров купил <i>n</i> билетов на каждый маршрут. Иванов и Петров выехали из города <i>A</i>. Иванов использовал все свои билеты, новых не покупал и оказался в другом городе <i>B</i>. Петров некоторое время ездил по купленным билетам, оказался в городе <i>X</i> и не может из него выехать, не купив новый билет. Докажите, что <i>X</i> – это либо <i>A</i>, либо <i>B</i>