Задача № 216993
Куб с ребром n составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких n это возможно?
Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 207986
У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?
Задача № 207802
a) Восемь школьников решали восемь задач. Оказалось, что каждую задачу решили пять школьников. Докажите, что найдутся такие два школьника, что каждую задачу решил хотя бы один из них. б) Если каждую задачу решили четыре ученика, то может оказаться, что таких двоих не найдётся.
Задача № 198625
В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?
Задача № 198270
Докажите, что среди 50 человек найдутся двое, у которых чётное число общих знакомых (быть может, 0) среди остальных 48 человек.
Задача № 198170
Петя заметил, что у всех его 25 одноклассников различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?
Задача № 198166
Муравей ползает по проволочному каркасу куба, при этом он никогда не поворачивает назад. Может ли случиться, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в каждой из остальных – по 20 раз?
Задача № 198121
Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9. а) Докажите, что число её членов меньше 100. б) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами. в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.