Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» для 10-11 класса - сложность 3 с решениями

В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?

Докажите, что среди 50 человек найдутся двое, у которых чётное число общих знакомых (быть может, 0) среди остальных 48 человек.  

Петя заметил, что у всех его 25 одноклассников различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?

Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.

  а) Докажите, что число её членов меньше 100.

  б) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами.

  в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.