Олимпиадные задачи по теме «Комбинаторика» для 8-9 класса - сложность 4 с решениями
Клетчатый квадрат 2010×2010 разрезан на трёхклеточные уголки. Докажите, что можно в каждом уголке отметить по клетке так, чтобы в каждой вертикали и в каждой горизонтали было поровну отмеченных клеток.
В стране есть <i>N</i> городов. Некоторые пары из них соединены беспосадочными двусторонними авиалиниями. Оказалось, что для любого <i>k</i> (2 ≤ <i>k ≤ N</i>) при любом выборе <i>k</i> городов количество авиалиний между этими городами не будет превосходить 2<i>k</i> – 2. Докажите, что все авиалинии можно распределить между двумя авиакомпаниями так, что не будет замкнутого авиамаршрута, в котором все авиалинии принадлежат одной компании.
Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.
Сколькими способами числа 2<sup>0</sup>, 2<sup>1</sup>, 2², ..., 2<sup>2005</sup> можно разбить на два непустых множества <i>A</i> и <i>B</i> так, чтобы уравнение <i>x</i>² – <i>S</i>(<i>A</i>)<i>x + S</i>(<i>B</i>) = 0, где <i>S</i>(<i>M</i>) – сумма чисел множества <i>M</i>, имело целый корень?
У фокусника и помощника есть колода с картами; одна сторона ("рубашка") у всех карт одинакова, а другая окрашена в один из 2017 цветов (в колоде по 1000000 карт каждого цвета). Фокусник и помощник собираются показать следующий фокус. Фокусник выходит из зала, а зрители выкладывают на стол в ряд <i>n</i> > 1 карт рубашками вниз. Помощник смотрит на эти карты, а затем все, кроме одной, переворачивает рубашкой вверх, не меняя их порядка. Затем входит фокусник, смотрит на стол, указывает на одну из закрытых карт и называет её цвет. При каком наименьшем <i>k</i> фокусник может заранее договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?