Олимпиадные задачи по теме «Треугольник Паскаля и бином Ньютона» - сложность 1-2 с решениями

Докажите следующий вариант <i>формулы Бине</i>:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60579/problem_60579_img_2.gif">

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/60424/problem_60424_img_2.gif"></div>Здесь изображен фрагмент таблицы, которая называется<i>треугольником Лейбница</i>. Его свойства "аналогичны в смысле противоположности" свойствам треугольника Паскаля. Числа на границе треугольника обратны последовательным натуральным числам. Каждое число внутри равно сумме двух чисел, стоящих под ним. Найдите формулу, которая связывает числа из треугольников Паскаля и Лейбница.

Какое слагаемое в разложении  (1 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60420/problem_60420_img_2.gif">)¹⁰⁰  по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?

Найдите <i>m</i> и <i>n</i> зная, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60419/problem_60419_img_2.gif">

Покажите, что любое натуральное число <i>n</i> может быть представлено в виде   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60417/problem_60417_img_2.gif">   где <i>x, y, z</i> – такие целые числа, что  0 ≤ <i>x < y < z</i>,  либо  0 = <i>x = y < z</i>.

В разложении  (<i>x + y</i>)^<i>n</i>  по формуле бинома Ньютона второй член оказался равен 240, третий – 720, а четвёртый – 1080. Найдите <i>x, y</i> и <i>n</i>.

Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60414/problem_60414_img_2.gif">

Докажите тождества:   а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_2.gif">   б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_3.gif">   в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_4.gif">   г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_5.gif">   д)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_6.gif">(Попробуйте доказать эти тождества тремя разными способами: пользуясь тем, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_7.gif">   – это количест...

Вычислите суммы:   a)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_3.gif">   в)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_4.gif">

Придумайте какой-нибудь способ достроить треугольник Паскаля вверх.

Сколькими способами, двигаясь по следующей таблице от буквы к букве, <div align="CENTER"> <table cellpadding="3"> <tr><td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER">к</td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> </tr> <tr&g...

Почему равенства  11² = 121  и  11³ = 1331  похожи на строчки треугольника Паскаля? Чему равно 11⁴?

Докажите, что в равенстве   (<i>x</i>₁ + ... + <i>x_m</i>)^<i>n</i>  = <img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60400/problem_60400_img_2.gif">   коэффициенты  <i>C</i>(<i>k</i>₁,..., <i>k_m</i>)  могут быть найдены по формуле   <img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60400/problem_60400_img_3.gif">

Имеется куб размером 10×10×10, состоящий из маленьких единичных кубиков. В центре О одного из угловых кубиков сидит кузнечик. Он может прыгать в центр кубика, имеющего общую грань с тем, в котором кузнечик находится в данный момент, причем так, чтобы расстояние до точки <i>О</i> увеличивалось. Сколькими способами кузнечик может допрыгать до кубика, противоположного исходному?

Рассмотрим прямоугольную сетку размерами <i>m</i>×<i>n</i> – шахматный город, состоящий из "кварталов", разделённых  <i>n</i> – 1  горизонтальными и  <i>m</i> – 1  вертикальными "улицами". Каково число различных кратчайших путей на этой сетке, ведущих из левого нижнего угла ("точка"  (0, 0))  в правый верхний ("точку"  (<i>m, n</i>))?

Сколько рациональных слагаемых содержится в разложении а) (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60389/problem_60389_img_2.gif"> + <img width="26" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60389/problem_60389_img_3.gif">)¹⁰⁰; б) (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60389/problem_60389_img_2.gif"> + <img width="26" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60389/problem_60389_img_4.gif">)<sup>300</sup&gt...

Докажите справедливость формулы   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60388/problem_60388_img_2.gif">

Найдите первые 99 знаков после запятой в разложении числа   <img src="/storage/problem-media/35551/problem_35551_img_2.gif" width="59" height="14" border="0">.

Сколькими способами можно прочитать слово "строка", двигаясь вправо или вниз?:

С Т Р О К А

Т Р О К А

Р О К А

О К А

К А А

Последовательность {<i>a_n</i>} определяется правилами:  <i>a</i>₀ = 9,   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/35392/problem_35392_img_2.gif">  .

Докажите, что в десятичной записи числа <i>a</i>₁₀ содержится не менее 1000 девяток.

Найдите число нулей, на которое оканчивается число  11¹⁰⁰ – 1.

Не встречается ли    а) в 100-й строке треугольника Паскаля число  1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99?    б) в 200-й строке сумма квадратов чисел, стоящих в 100-й строке?

Проставим знаки плюс и минус в 99-й строке треугольника Паскаля. Между первым и вторым числом – минус, между вторым и третьим – плюс, между третьим и четвёртым – минус, потом опять плюс, и так далее. Найдите значение полученного выражения.

Во сколько раз сумма чисел, стоящих в сто первой строке треугольника Паскаля, больше суммы чисел, стоящих в сотой строке?

Найдите натуральное число, большее единицы, которое встречается в треугольнике Паскаля

  а) больше трёх раз.

  б) больше четырёх раз.