Задача № 216706
Обозначим через S(n, k) количество не делящихся на k коэффициентов разложения многочлена (x + 1)n по степеням x. а) Найдите S(2012, 3). б) Докажите, что S(20122011, 2011) делится на 2012.
Олимпиадные задачи по теме «Треугольник Паскаля и бином Ньютона» - сложность 4-5 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 211927
Для каждого простого p найдите наибольшую натуральную степень числа p!, на которую делится число (p²)!.
Задача № 205070
Решите в натуральных числах уравнение (1 + nk)l = 1 + nm, где l > 1.
Задача № 173773
Для любого натурального числа n сумма делится на 2n–1. Докажите это.
Задача № 173673
m и n – натуральные числа, m < n. Докажите, что
Задача № 164593
Перед Алёшей 100 закрытых коробочек, в каждой – либо красный, либо синий кубик. У Алёши на счету есть рубль. Он подходит к любой закрытой коробочке, объявляет цвет и ставит любую сумму (можно нецелое число копеек, но не больше, чем у него на счету в данный момент). Коробочка открывается, и Алёшин счет увеличивается или уменьшается на поставленную сумму в зависимости от того, угадан или не угадан цвет кубика. Игра продолжается, пока не будут открыты все все коробочки. Какую наибольшую сумму на счету может гарантировать себе Алёша, если ему известно, что a) синий кубик только один; б) синих куби...
Задача № 161452
а) Пусть q – натуральное число и функция f(x) = cqx + anxn + ... + a1x + a0 принимает целые значения при x = 0, 1, 2, ..., n + 1. Докажите, что при любом натуральном x число f(x) также будет целым. б) Пусть выполняются условия пункта а) и f(x) делится на некоторое целое m ≥ 1 при x = 0, 1, 2, ..., n + 1. Докажите, что f(x) делится на m при всех натуральных x.