Задача № 216882
На какую наибольшую степень двойки делится число 1020 – 220?
Олимпиадные задачи по теме «Треугольник Паскаля и бином Ньютона» - сложность 1-2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216426
Сумма цифр натурального числа n равна 100. Может ли сумма цифр числа n³ равняться 1000000?
Задача № 209154
Докажите равенство
Задача № 209151
Доказать, что
Задача № 203809
Сколькими способами можно прочитать в таблице слово а) КРОНА, б) КОРЕНЬ, начиная с буквы "K" и двигаясь вправо или вниз?
Задача № 198176
Рассматривается числовой треугольник: (первая строчка задана, а каждый элемент остальных строчек вычисляется как разность двух элементов, которые стоят над ним). В 1993-й строчке – один элемент. Найдите его.
Задача № 178182
Доказать, что не существует таких натуральных чисел x, y, z, k, что xk + yk = zk при условии x < k, y < k.
Задача № 177992
Найти корни уравнения
Задача № 177950
Докажите, что 2n > (1 – x)n + (1 + x)n при целом n ≥ 2 и |x| < 1.
Задача № 176551
В числовом треугольнике каждое число равно сумме чисел, расположенных в предыдущей строке над этим числом и над его соседями справа и слева (отсутствующие числа считаются равными нулю). Докажите, что в каждой строке, начиная с третьей, найдутся чётные числа.
Задача № 173613
Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде где x и y – целые неотрицательные числа. Докажите это.
Задача № 165279
Вероятность того, что купленная лампочка будет работать, равна 0,95. Сколько нужно купить лампочек, чтобы с вероятностью 0,99 среди них было не менее пяти работающих?
Задача № 164359
Даны многочлены P(x) и Q(x) десятой степени, старшие коэффициенты которых равны 1. Известно, что уравнение P(x) = Q(x) не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение P(x +1) = Q(x – 1) имеет хотя бы один действительный корень.
Задача № 161523
а) Определение (смотри в справочнике) функций gk,l(x) не позволяет вычислять их значения при x = 1. Но, поскольку функции gk,l(x) являются многочленами, они определены и при x = 1. Докажите равенство б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи 161522 подставить значение x = 1?
Задача № 161497
Вычислите производящие функции следующих последовательностей: а) б)
Задача № 161477
Найдите у чисел а) (6 + )1999; б) (6 + )1999; в) (6 + )2000 первые 1000 знаков после запятой.
Задача № 161126
Используя разложение (1 + i)n по формуле бинома Ньютона, найдите: а) б)
Задача № 161012
Докажите, что если a + b + c = 0, то 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2).
Задача № 160871
При каких натуральных n число ( + 1)n – ( – 1)n будет целым?
Задача № 160736
Малая теорема Ферма. Пусть p – простое число и p не делит a. Тогда ap–1 ≡ 1 (mod p). Докажите теорему Ферма, разлагая (1 + 1 + ... + 1)p посредством полиномиальной теоремы (см. задачу 160400).
Задача № 160671
Докажите, что если p – простое число, то (a + b)p – ap – bp делится на p при любых целых a и b.
Задача № 160668
Докажите, что если p – простое число и 1 ≤ k ≤ p – 1, то делится на p.
Задача № 160593
1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 6 3 1 1 5 15 15 5 1 1 8 40 60 40 8 1 1 13 104 260 260 104 13 1 Данная таблица аналогична треугольнику Паскаля и состоит изфибоначчиевых коэффициентов определяемых равенством а) Докажите, что фибоначчиевы коэффициенты обладают свойством симметрии б) Найдите формулу, которая выражает коэффициент через и (аналогичную равенству б) из задачи 160413). в) Объясните, почему все фибоначчиевы коэффициенты являются целыми числами.
Задача № 160582
Вычислите сумму:
Задача № 160581
Докажите равенство: (Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)
1–25 из 55