Задача № 211922
Докажите, что при любых натуральных 0
Олимпиадные задачи по теме «Треугольник Паскаля и бином Ньютона» для 9 класса - сложность 3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 211336
Назовём усложнением числа приписывание к нему одной цифры в начало, в конец или между любыми двумя его цифрами. Существует ли натуральное число, из которого невозможно получить полный квадрат с помощью ста усложнений?
Задача № 198579
Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что a > 1, b > 1, и [am] отлично от [bn] при любых натуральных числах m и n?
Задача № 179612
Каких нечётных натуральных чисел n < 10000 больше: тех, для которых число, образованное четырьмя последними цифрами числа n9, больше n, или тех, для которых оно меньше n?
Задача № 173734
а) Докажите, что (сумма берётся по всем целым i, 0 ≤ i ≤ n/2). б) Докажите, что если p и q – различные числа и p + q = 1, то
Задача № 173719
Докажите, что для любого натурального числа n
Задача № 166032
Изначально на стол кладут 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом среди них ровно 28 карточек с нечётными числами. Затем каждую минуту проводится следующая процедура. Для каждых 12 карточек, лежащих на столе, вычисляется произведение записанных на них чисел, все эти произведения складываются, и полученное число записывается на новую карточку, которая добавляется к лежащим на столе. Можно ли выбрать исходные 100 чисел так, что для любого натурального d на столе рано или поздно появится карточка с числом, кратным 2d?
Задача № 166028
Изначально на стол положили 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом было ровно 43 карточки с нечётными числами. Затем каждую минуту проводилась следующая процедура. Для каждых трёх карточек, лежащих на столе, вычислялось произведение записанных на них чисел, все эти произведения складывались, и полученное число записывалось на новую карточку, которая добавлялась к лежащим на столе. Через год после начала процесса выяснилось, что на столе есть карточка с числом, кратным 210000. Докажите, что число, кратное 210000, было на одной из карточек уже через день посл...
Задача № 165341
Вася купил n пар одинаковых носков. В течение n дней Вася не знал проблем: каждое утро брал из шкафа новую пару и носил её целый день. Через n дней Васина мама постирала все носки в стиральной машине и разложила их по парам, как получилось, поскольку, повторим, носки одинаковые. Назовём пару носков удачной, если оба носка в этой паре были на Васе в один и тот же день. а) Найти вероятность того, что все получившиеся пары удачные. б) Доказать, что матожидание числа удачных пар больше 0,5.
Задача № 165340
В Анчурии проходит единый государственный экзамен. Вероятность угадать верный ответ на каждый вопрос экзамена равна 0,25. В 2011 году, чтобы получить аттестат, нужно было ответить верно на три вопроса из 20. В 2012 году Управление школ Анчурии решило, что три вопроса это мало. Теперь нужно верно ответить на шесть вопросов из 40. Спрашивается, если ничего не знать, а просто угадывать ответы, в каком году вероятность получить анчурийский аттестат выше – в 2011 или в 2012?
Задача № 165339
На борту авиалайнера 2n пассажиров, и авиакомпания загрузила для них n порций питания с курицей и n порций с рыбой. Известно, что пассажир с вероятностью 0,5 предпочитает курицу и с вероятностью 0,5 – рыбу. Назовём пассажира недовольным, если ему осталось не то, что он предпочитает. а) Найдите наиболее вероятное число недовольных пассажиров. б) Найдите математическое ожидание числа недовольных пассажиров. в) Найдите дисперсию числа недовольных пассажиров.
Задача № 165286
На экзамене даётся три задачи по тригонометрии, две по алгебре и пять по геометрии. Ваня решает задачи по тригонометрии с вероятностью p1 = 0,2, по геометрии – с вероятностью p2 = 0,4, по алгебре – с вероятностью p3 = 0,5. Чтобы получить тройку, Ване нужно решить не менее пяти задач. а) С какой вероятностью Ваня решит не менее пяти задач? Ваня решил усиленно заняться задачами какого-нибудь одного раздела. За неделю он может увеличить вероятность решения заданий этого раздела на 0,2. б) Каким разделом следует заняться Ване, чтобы вероятность решить не менее пяти задач стала наибольшей? в) Каким...
Задача № 161501
Функции a, b и c заданы рядами Докажите, что a³ +b³ +c³ – 3abc= (1 +x³)n.
Задача № 161498
Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть N – количество счастливых билетов. Докажите равенства: а) (1 + x + ... + x9)3(1 + x–1 + ... + x–9)3 = x27 + ... + a1x + N + a1x + ... + x–27; б) (1 + x + ... + x9)6 = 1 + ... + Nx27 + ... + x54. в) Найдите число счастливых билетов.
Задача № 161496
Докажите, что для всех неотрицательных n выполняются равенства а) б)
Задача № 161493
Пусть an – число решений уравнения x1 + ... + xk = n в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности an. а) Докажите равенства: F(x) = (1 + x + x² + ...)k = (1 – x)–k. б) Найдите формулу для an, пользуясь задачей 161490.
Задача № 161143
Найдите все корни уравнения (z – 1)n = (z + 1)n. Чему равна сумма квадратов корней данного уравнения?
Задача № 161128
а) Докажите равенство б) Вычислите суммы
Задача № 161127
а) Докажите равенство б) Вычислите сумму
Задача № 161099
а) Используя формулу Муавра, докажите, что cos nx = Tn(cos x), sin nx = sin x Un–1(cos x), где Tn(z) и Un(z) – многочлены степени n. При этом по определению U0(z) = 1. б) Вычислите в явном виде эти многочлены для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Многочлены Tn(z) и Un(z) называются многочленами Чебышёва первого и второго рода соответственно.
Задача № 160779
Теорема Эйлера. Пусть m ≥ 1 и (a, m) = 1. Тогда aφ(m) ≡ 1 (mod m). Докажите теорему Эйлера с помощью малой теоремы Ферма а) в случае, когда m = pn; б) в общем случае.
Задача № 160741
С помощью индукции докажите следующее утверждение, эквивалентное малой теореме Ферма: если p – простое число, то для любого натурального a справедливо сравнение ap ≡ a (mod p).
Задача № 160670
а) Докажите, что если p — простое число и 2 ≤ k ≤ p – 2, то делится на p. б) Верно ли обратное утверждение?
Задача № 160669
Докажите утверждение обратное тому, что было в задаче 160668: если делится на n при всех 1 ≤ k ≤ n – 1, то n – простое число.
Задача № 160558
Докажите, что число (m, n ≥ 0) целое.
1–25 из 29