Задача № 211922
Докажите, что при любых натуральных 0
Олимпиадные задачи по теме «Треугольник Паскаля и бином Ньютона» для 8 класса - сложность 3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 165340
В Анчурии проходит единый государственный экзамен. Вероятность угадать верный ответ на каждый вопрос экзамена равна 0,25. В 2011 году, чтобы получить аттестат, нужно было ответить верно на три вопроса из 20. В 2012 году Управление школ Анчурии решило, что три вопроса это мало. Теперь нужно верно ответить на шесть вопросов из 40. Спрашивается, если ничего не знать, а просто угадывать ответы, в каком году вероятность получить анчурийский аттестат выше – в 2011 или в 2012?
Задача № 161498
Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть N – количество счастливых билетов. Докажите равенства: а) (1 + x + ... + x9)3(1 + x–1 + ... + x–9)3 = x27 + ... + a1x + N + a1x + ... + x–27; б) (1 + x + ... + x9)6 = 1 + ... + Nx27 + ... + x54. в) Найдите число счастливых билетов.
Задача № 161493
Пусть an – число решений уравнения x1 + ... + xk = n в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности an. а) Докажите равенства: F(x) = (1 + x + x² + ...)k = (1 – x)–k. б) Найдите формулу для an, пользуясь задачей 161490.
Задача № 160670
а) Докажите, что если p — простое число и 2 ≤ k ≤ p – 2, то делится на p. б) Верно ли обратное утверждение?
Задача № 160558
Докажите, что число (m, n ≥ 0) целое.
Задача № 160411
При каких значениях n все коэффициенты в разложении бинома Ньютона (a + b)n нечётны?
Задача № 130715
Докажите, что каждое число a в треугольнике Паскаля, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный теми правой и левой диагоналями, на пересечении которых стоит число a (сами эти диагонали в рассматриваемый параллелограмм не включаются).