Задача № 216882
На какую наибольшую степень двойки делится число 1020 – 220?
Олимпиадные задачи по теме «Треугольник Паскаля и бином Ньютона» для 10 класса - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 209154
Докажите равенство
Задача № 198176
Рассматривается числовой треугольник: (первая строчка задана, а каждый элемент остальных строчек вычисляется как разность двух элементов, которые стоят над ним). В 1993-й строчке – один элемент. Найдите его.
Задача № 178182
Доказать, что не существует таких натуральных чисел x, y, z, k, что xk + yk = zk при условии x < k, y < k.
Задача № 177950
Докажите, что 2n > (1 – x)n + (1 + x)n при целом n ≥ 2 и |x| < 1.
Задача № 176551
В числовом треугольнике каждое число равно сумме чисел, расположенных в предыдущей строке над этим числом и над его соседями справа и слева (отсутствующие числа считаются равными нулю). Докажите, что в каждой строке, начиная с третьей, найдутся чётные числа.
Задача № 173613
Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде где x и y – целые неотрицательные числа. Докажите это.
Задача № 165279
Вероятность того, что купленная лампочка будет работать, равна 0,95. Сколько нужно купить лампочек, чтобы с вероятностью 0,99 среди них было не менее пяти работающих?
Задача № 164359
Даны многочлены P(x) и Q(x) десятой степени, старшие коэффициенты которых равны 1. Известно, что уравнение P(x) = Q(x) не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение P(x +1) = Q(x – 1) имеет хотя бы один действительный корень.
Задача № 161523
а) Определение (смотри в справочнике) функций gk,l(x) не позволяет вычислять их значения при x = 1. Но, поскольку функции gk,l(x) являются многочленами, они определены и при x = 1. Докажите равенство б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи 161522 подставить значение x = 1?
Задача № 161497
Вычислите производящие функции следующих последовательностей: а) б)
Задача № 161477
Найдите у чисел а) (6 + )1999; б) (6 + )1999; в) (6 + )2000 первые 1000 знаков после запятой.
Задача № 161126
Используя разложение (1 + i)n по формуле бинома Ньютона, найдите: а) б)
Задача № 161012
Докажите, что если a + b + c = 0, то 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2).
Задача № 160871
При каких натуральных n число ( + 1)n – ( – 1)n будет целым?
Задача № 160736
Малая теорема Ферма. Пусть p – простое число и p не делит a. Тогда ap–1 ≡ 1 (mod p). Докажите теорему Ферма, разлагая (1 + 1 + ... + 1)p посредством полиномиальной теоремы (см. задачу 160400).
Задача № 160671
Докажите, что если p – простое число, то (a + b)p – ap – bp делится на p при любых целых a и b.
Задача № 160668
Докажите, что если p – простое число и 1 ≤ k ≤ p – 1, то делится на p.
Задача № 160593
1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 6 3 1 1 5 15 15 5 1 1 8 40 60 40 8 1 1 13 104 260 260 104 13 1 Данная таблица аналогична треугольнику Паскаля и состоит изфибоначчиевых коэффициентов определяемых равенством а) Докажите, что фибоначчиевы коэффициенты обладают свойством симметрии б) Найдите формулу, которая выражает коэффициент через и (аналогичную равенству б) из задачи 160413). в) Объясните, почему все фибоначчиевы коэффициенты являются целыми числами.
Задача № 160582
Вычислите сумму:
Задача № 160581
Докажите равенство: (Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)
Задача № 160579
Докажите следующий вариант формулы Бине:
Задача № 160424
Здесь изображен фрагмент таблицы, которая называетсятреугольником Лейбница. Его свойства "аналогичны в смысле противоположности" свойствам треугольника Паскаля. Числа на границе треугольника обратны последовательным натуральным числам. Каждое число внутри равно сумме двух чисел, стоящих под ним. Найдите формулу, которая связывает числа из треугольников Паскаля и Лейбница.
Задача № 160420
Какое слагаемое в разложении (1 + )100 по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?
Задача № 160419
Найдите m и n зная, что
1–25 из 39