Задача № 198380
а) Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел, складываем. Сколько получится? б) Тот же вопрос для четырёхзначных чисел.
Олимпиадные задачи по теме «Производящие функции» - сложность 1-2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 197910
Берутся всевозможные непустые подмножества из множества чисел 1, 2, 3, ..., n. Для каждого подмножества берётся величина, обратная к произведению всех его чисел. Найти сумму всех таких обратных величин.
Задача № 176536
Определить коэффициенты, которые будут стоять при x17 и x18 после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении (1 + x5 + x7)20.
Задача № 161526
Пусть fk,l(x) – производящая функция последовательности Pk,l(n) из задачи 161525: fk,l(x) = Pk,l(0) + xPk,l(1) + ... + xklPk,l(kl). а) Докажите равенства: fk,l(x) = fk–1,l(x) + xkfk,l–1(x) = fk,l–1(x) + xlfk–1,l(x). б) Докажите, что функции fk,l(x) совпадают с многочленами Гаусса gk,l(x) (определение многочленов Гаусса смотри здесь).
Задача № 161512
Обозначим через d(n) количество разбиений числа n на различные слагаемые, а через l(n) – на нечётные. Докажите равенства: а) d(0) + d(1)x + d(2)x² + ... = (1 + x)(1 + x²)(1 + x³)...; б) l(0) + l(1)x + l(2)x² + ... = (1 – x)–1(1 – x³)–1(1 – x5)–1...; в) d(n) = l(n) (n = 0, 1, 2, ...).(Считается по определению, что d(0) = l(0) = 1.)
Задача № 161509
Пусть p(n) – количество разбиений числа n (определение разбиений смотри здесь). Докажите равенства: p(0) + p(1)x + p(2)x '' + ... = (1 + x + x² + ...)...(1 + xk + x2k + ...)... = (1 – x)–1(1 – x²)–1(1 – x³)–1... (По определению считается, что p(0) = 1.)
Задача № 161507
Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода: Определения многочленов Чебышева можно найти всправочнике.
Задача № 161497
Вычислите производящие функции следующих последовательностей: а) б)