Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
По рёбрам треугольной пирамиды ползают четыре жука, при этом каждый жук всё время остаётся только в одной грани (в каждой грани – свой жук). Каждый жук обходит границу своей грани в определённом направлении, причём так, что каждые два жука по общему для них ребру ползут в противоположных направлениях. Докажите, что если скорости (возможно, непостоянные) каждого из жуков всегда больше 1 см/с, то когда-нибудь какие-то два жука обязательно встретятся.
Продавец хочет разрезать кусок сыра на части, которые можно будет разложить на две кучки равного веса. Он умеет разрезать любой кусок сыра в одном и том же отношении a : (1 – a) по весу, где 0 < a < 1. Верно ли, что на любом промежутке длины 0,001 из интервала (0, 1) найдётся значение a, при котором он сможет добиться желаемого результата с помощью конечного числа разрезов?
N друзей одновременно узнали N новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. Каждый разговор длится 1 час. За один разговор можно передать сколько угодно новостей. Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? Рассмотрите три случая: а) N = 64, б) N = 55, в) N = 100.
В ящике лежат два ящика поменьше, в каждом из них ещё по два ящика и т.д. n раз. В каждом из 2n маленьких ящиков лежит по монете, причём одни вверх гербом, а остальные – вверх решкой. За один ход разрешается перевернуть один любой ящик вместе со всем, что в нём лежит. Доказать, что не больше, чем за n ходов можно расположить ящики так, что число монет, лежащих вверх гербом, будет равно числу монет, лежащих вверх решкой.
Около таверны стоят эльфов, гномов и орков. Сначала в неё заходят эльфов, гномов и орков. Затем каждую минуту из неё выходит одно существо и тут же заходит другое, причём всегда после выхода эльфа заходит гном, после выхода гнома – орк, а после выхода орка – эльф. Могло ли оказаться так, что в какой-то момент в таверне побывали все возможные компании из существ ровно по одному разу? Все существ различны.