Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 9 класса - сложность 1-2 с решениями

В параллелограмме <i>ABCD</i> диагональ <i>АС</i> в два раза больше стороны <i>АВ</i>. На стороне <i>BC</i> выбрана точка <i>K</i> так, что  ∠<i>KDB</i> = ∠<i>BDA</i>.

Найдите отношение  <i>BK</i> : <i>KC</i>.

а) Внутри окружности находится некоторая точка <i>A</i>. Через <i>A</i> провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.

Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых. б) Внутри окружности находится правильный 2<i>n</i>-угольник  (<i>n</i> > 2),  его центр <i>A</i> не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из <i>A</i> в вершины 2<i>n</i>-угольника, высекают 2<i>n</i> точек на окружности. 2<i>n</i>-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2<i>n</i> новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2<i>n</i> точек....

Окружность касается сторон <i>AB, BC, CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> в точках <i>K, L, M</i> соответственно.

Докажите, что прямая <i>KL</i> делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины <i>C</i> на <i>AB</i>.

Верно ли, что в вершинах любого треугольника можно расставить положительные числа так, чтобы сумма чисел в концах каждой стороны треугольника равнялась длине этой стороны?

Длина прямоугольного участка равна 4 метра, а ширина – 1 метр.

Можно ли посадить на нём три дерева так, чтобы расстояние между любыми двумя деревьями было не меньше чем 2,5 метра?

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектриса <i>AD</i> и высота <i>BE</i>. Докажите, что  ∠<i>CED</i> > 45°.

Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Прямая, пересекающая отрезок <i>PQ</i>, последовательно пересекает эти окружности в точках <i>A, B, C</i> и <i>D</i>.

Докажите, что  ∠<i>APB</i> = ∠<i>CQD</i>.

Существует ли трапеция, в которой каждая диагональ разбивает её на два равнобедренных треугольника?

На плоскости даны два равных многоугольника <i>F</i> и <i>F'</i>. Известно, что все вершины многоугольника <i>F</i> принадлежат <i>F'</i> (могут лежать внутри него или на границе). Верно ли, что все вершины этих многоугольников совпадают?

В трапеции <i>ABCD</i> стороны <i>AD</i> и <i>BC</i> параллельны, и  <i>AB = BC = BD</i>.  Высота <i>BK</i> пересекает диагональ <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Найдите ∠<i>CDM</i>.

На стороне <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечены точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что  <i>BK = KL = LC</i>,  а на стороне <i>АС</i> отмечена точка <i>М</i> так,

что  <i>АМ</i> = &frac13; <i>AC</i>.  Найдите сумму углов <i>AKM</i> и <i>ALM</i>.

В прямоугольнике <i>АВСD</i> точка <i>Р</i> – середина стороны <i>АВ</i>, а точка <i>Q</i> – основание перпендикуляра, опушенного из вершины <i>С</i> на <i>PD</i>.

Докажите, что  <i>BQ = BC</i>.

Разрежьте квадрат 4×4 по линиям сетки на 9 прямоугольников так, чтобы равные прямоугольники не соприкасались ни сторонами, ни вершинами.

У двух равнобедренных треугольников равны основания и радиусы описанных окружностей. Обязательно ли эти треугольники равны?

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Вписанные окружности треугольников <i>ABC</i> и <i>ADC</i> касаются диагонали <i>AC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Вписанные окружности треугольников <i>BCD</i> и <i>BAD</i> касаются диагонали <i>BD</i> в точках <i>Z</i> и <i>T</i>. Докажите, что если все точки <i>X, Y, Z, T</i> различны, то они являются вершинами прямоугольника.

Под одной из клеток доски 8×8 зарыт клад. Под каждой из остальных зарыта табличка, в которой указано, за какое наименьшее число шагов можно добраться из этой клетки до клада (одним шагом можно перейти из клетки в соседнюю по стороне клетку). Какое наименьшее число клеток надо перекопать, чтобы наверняка достать клад?

На доске 8×8 стоят 8 не бьющих друг друга ладей. Все клетки доски распределяются во <i>владения</i> этих ладей по следующему правилу. Клетка, на которой стоит ладья, отдаётся этой ладье. Клетку, которую бьют две ладьи, получает та из ладей, которая ближе к этой клетке; если же эти две ладьи равноудалены от клетки, то каждая из них получает по полклетки. Докажите, что площади владений всех ладей одинаковы.

На плоскости отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Саша разбивает точки на пары, после чего соединяет точки в каждой из пар отрезком. Всегда ли он может это сделать так, чтобы каждые два отрезка пересекались?

<img align="right" src="/storage/problem-media/116673/problem_116673_img_2.gif">Кузнечик умеет прыгать только ровно на 50 см. Он хочет обойти 8 точек, отмеченных на рисунке (сторона клетки равна 10 см). Какое наименьшее количество прыжков ему придётся сделать? (Разрешается посещать и другие точки плоскости, в том числе не узлы сетки. Начинать и заканчивать можно в любых точках.)

Докажите, что в правильной треугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями больше чем 60°.

Внутри прямоугольного треугольника <i>АВС</i> выбрана произвольная точка <i>Р</i>, из которой опущены перпендикуляры <i>PK</i> и <i>РМ</i> на катеты <i>АС</i> и <i>ВС</i> соответственно. Прямые <i>АР</i> и <i>ВР</i> пересекают катеты в точках <i>A</i>' и <i>B</i>' соответственно. Известно, что  <i>S_APB'</i> : <i>S_KPB' = m</i>.  Найдите  <i>S_MPA'</i> : <i>S_BPA'</i>.

Вокруг цилиндрической колонны высотой 20 метров и диаметра 3 метра обвита узкая лента, которая поднимается от подножия до вершины семью полными витками. Какова длина ленты?

В трапеции <i>ABCD</i>  (<i>AD || BC</i>)  из точки <i>Е</i> – середины <i>CD</i> провели перпендикуляр <i>EF</i> к прямой <i>AB</i>. Найдите площадь трапеции, если  <i>АВ</i> = 5,  <i>EF</i> = 4.

На плоскости нарисованы <i>n</i> > 2 различных векторов  <i><b>a</b></i>₁, <i><b>a</b></i>₂, ..., <i><b>a</b>_n</i>  с равными длинами. Оказалось, что все векторы  –<i><b>a</b></i>₁ + <i><b>a</b></i>₂ + ... + <i><b>a</b>_n</i>,

<i><b>a</b></i>₁ – <i><b>a</b></i>₂ + <i><b>a</b></i>₃ + ... + <i><b>a</b>_n</i>,  <...

Через вершины основания четырёхугольной пирамиды <i>SABCD</i> проведены прямые, параллельные противоположным боковым рёбрам (через вершину <i>A</i> – параллельно <i>SC</i>, и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – параллелограмм.