Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 8-9 класса - сложность 4 с решениями

В треугольнике<i> АВС </i>:<i> АС = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115455/problem_115455_img_2.gif"> </i>. Докажите, что центры вписанной и описанной окружностей треугольника<i> АВС </i>, середины сторон<i> АВ </i>и<i> ВС </i>и вершина<i> В </i>лежат на одной окружности.

<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115448/problem_115448_img_2.gif"> </i></center>

Четырёхугольник<i> ABCD </i>вписан в окружность с диаметром<i> AD </i>;<i> O </i> — точка пересечения его диагоналей<i> AC </i>и<i> BD </i>является центром другой окружности, касающейся стороны<i> BC </i>. Из вершин<i> B </i>и<i> С </i>проведены касательные ко второй окружности, пересекающиеся в точке<i> T </i>. Докажите, что точка<i> T </i>лежит на отрезке<i> AD </i>.

Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂, равный треугольнику <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ и такой, что прямые <i>AA</i>₂, <i>BB</i>₂ и <i>CC</i>₂ будут параллельны?

На сторонах<i> AB </i>и<i> BC </i>параллелограмма<i> ABCD </i>выбраны точки<i> A₁ </i>и<i> C₁ </i>соответственно. Отрезки<i> AC₁ </i>и<i> CA₁ </i>пересекаются в точке<i> P </i>. Описанные окружности треугольников <i> AA₁P </i>и<i> CC₁P </i>вторично пересекаются в точке<i> Q </i>, лежащей внутри треугольника <i> ACD </i>. Докажите, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115402/problem_115402_img_2.gif"> PDA=<img align="absmiddle" src="/storage/...

В треугольнике<i> ABC </i>угол<i> A </i>равен60<i>^o </i>. Пусть<i> BB₁ </i>и<i> CC₁ </i> — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой<i> B₁C₁ </i>, лежит на стороне<i> BC </i>.

Дан равнобедренный треугольник<i> ABC </i>(<i> AB=BC </i>). Выбрана точка<i> X </i>на стороне<i> AC </i>. Окружность проходит через точку<i> X </i>, касается стороны<i> AC </i>и пересекает описанную окружность треугольника<i> ABC </i>в таких точках<i> M </i>и<i> N </i>, что прямая<i> MN </i>делит отрезок<i> BX </i>пополам и пересекает стороны<i> AB </i>и<i> BC </i>в точках<i> P </i>и<i> Q </i>. Докажите, что описанная окружность треугольника<i> BPQ </i>проходит через центр описанной окружности треугольника<i> ABC </i>.

Докажите, что при любом разбиении ста "двузначных" чисел 00, 01, ..., 99 на две группы некоторые числа хотя бы одной группы можно записать в ряд так, чтобы каждые два соседних числа этого ряда отличались друг от друга на 1, 10 или 11, и хотя бы в одном из двух разрядов (единиц или десятков) встречались все 10 различных цифр.

Через каждую вершину четырехугольника проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырехугольника на две равновеликие части. a) Докажите, что и четвертая прямая обладает тем же свойством. б) Какие значения могут принимать углы этого четырехугольника, если один из них равен72<i>^o </i>?

Стороны<i> BC </i>и<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках<i> A₁ </i>,<i> B₁ </i>. Пусть<i> A₂ </i>,<i> B₂ </i>— ортоцентры треугольников<i> CAA₁ </i>и<i> CBB₁ </i>. Докажите, что прямая<i> A₂B₂ </i>перпендикулярна биссектрисе угла<i> C </i>.

Дано целое число  <i>n</i> > 1.  Двое игроков по очереди отмечают точки на окружности: первый – красным цветом, второй – синим (отмечать одну и ту же точку дважды нельзя). Когда отмечено по <i>n</i> точек каждого цвета, игра заканчивается. После этого каждый игрок находит на окружности дугу наибольшей длины с концами своего цвета, на которой больше нет отмеченных точек. Игрок, у которого найденная длина больше, выиграл (в случае равенства длин дуг, а также при отсутствии таких дуг у обоих игроков – ничья). Кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл противник?

Начертите два четырехугольника с вершинами в узлах сетки, из которых можно сложить а) как треугольник, так и пятиугольник; б) и треугольник, и четырехугольник, и пятиугольник. Покажите, как это можно сделать.

В НИИЧАВО работают несколько научных сотрудников. В течение 8-часового рабочего дня сотрудники ходили в буфет, возможно по нескольку раз. Известно, что для каждых двух сотрудников суммарное время, в течение которого в буфете находился ровно один из них, оказалось не менее <i>x</i> часов  (<i>x</i> > 4).  Какое наибольшее количество научных сотрудников могло работать в этот день в НИИЧАВО (в зависимости от <i>x</i>)?

У выпуклого многогранника одна вершина <i>A</i> имеет степень 5, а все остальные – степень 3. Назовём раскраску рёбер многогранника в синий, красный и лиловый цвета <i>хорошей</i>, если для каждой вершины степени 3 все выходящие из нее ребра покрашены в разные цвета. Оказалось, что количество хороших раскрасок не делится на 5. Докажите, что в одной из хороших раскрасок какие-то три последовательных ребра, выходящие из <i> A </i>, покрашены в один цвет.

Две окружности<i> σ₁ </i>и<i> σ₂ </i>пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>. Пусть<i> PQ </i>и<i> RS </i>– отрезки общих внешних касательных к этим окружностям (точки<i> P </i>и<i> R </i>лежат на<i> σ₁ </i>, точки<i> Q </i>и<i> S </i>– на<i> σ₂ </i>). Оказалось, что<i> RB|| PQ </i>. Луч<i> RB </i>вторично пересекает<i> σ₂ </i>в точке<i> W </i>. Найдите отношение<i> RB/BW </i>.

В стране есть <i>N</i> городов. Некоторые пары из них соединены беспосадочными двусторонними авиалиниями. Оказалось, что для любого <i>k</i>  (2 ≤ <i>k ≤ N</i>)  при любом выборе <i>k</i> городов количество авиалиний между этими городами не будет превосходить  2<i>k</i> – 2.  Докажите, что все авиалинии можно распределить между двумя авиакомпаниями так, что не будет замкнутого авиамаршрута, в котором все авиалинии принадлежат одной компании.

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

Вписанная окружность<i> σ </i>треугольника<i> ABC </i>касается его сторон<i> BC </i>,<i> AC </i>,<i> AB </i>в точках<i> A' </i>,<i> B' </i>,<i> C' </i>соответственно. Точки<i> K </i>и<i> L </i>на окружности<i> σ </i>таковы, что<i> <img src="/storage/problem-media/111797/problem_111797_img_2.gif"> AKB'+<img src="/storage/problem-media/111797/problem_111797_img_2.gif"> BKA'=<img src="/storage/problem-media/111797/problem_111797_img_2.gif"> ALB'+<img src="/storage/problem-media/111797/problem_111797_img_2.gif"> BLA'=</i>180<i><sup>o</sup&g...

В треугольнике<i> ABC </i>на стороне<i> BC </i>выбрана точка<i> M </i>так, что точка пересечения медиан треугольника<i> ABM </i>лежит на описанной окружности треугольника<i> ACM </i>, а точка пересечения медиан треугольника<i> ACM </i>лежит на описанной окружности треугольника<i> ABM </i>. Докажите, что медианы треугольников<i> ABM </i>и<i> ACM </i>из вершины<i> M </i>равны.

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.

  а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?

  б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?

  в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

а) Многоугольник обладает следующим свойством: если провести прямую через любые две точки, делящие его периметр пополам, то эта прямая разделит многоугольник на два равновеликих многоугольника. Верно ли, что многоугольник центрально симметричен? б) Верно ли, что любая фигура, обладающая свойством, указанным в п.а), центрально симметрична?

Докажите, что для треугольника со сторонами<i> a </i>,<i> b </i>,<i> c </i>и площадью<i> S </i>выполнено неравенство <center><i>

a²+b²+c²-<img src="/storage/problem-media/111723/problem_111723_img_2.gif"> </i>(<i>|a-b|+|b-c|+|c-a|</i>)<i>²<img src="/storage/problem-media/111723/problem_111723_img_3.gif"> </i>4<i><img src="/storage/problem-media/111723/problem_111723_img_4.gif"> S.

</i></center>

Дан треугольник<i> ABC </i>и линейка, на которой отмечены два отрезка, равные<i> AC </i>и<i> BC </i>. Пользуясь только этой линейкой, найдите центр вписанной окружности треугольника, образованного средними линиями<i> ABC </i>.

Даны две окружности. Общая внешняя касательная касается их в точках<i> A </i>и<i> B </i>. Точки<i> X </i>,<i> Y </i>на окружностях таковы, что существует окружность, касающаяся данных в этих точках, причем одинаковым образом (внешним или внутренним). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых<i> AX </i>и<i> BY </i>.

На сторонах треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены правильные треугольники.

Докажите, что их центры образуют правильный треугольник, причём его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>.

Нарисуйте многоугольник и точку на его границе так, что любая прямая, проходящая через эту точку, делит площадь этого многоугольника пополам.