Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 8-9 класса - сложность 1 с решениями

В равнобокой трапеции <i>AВСD</i> основания <i>AD</i> и <i>ВС</i> равны 12 и 6 соответственно, а высота равна 4. Сравните углы <i>ВАС</i> и <i>САD</i>.

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i> с основанием <i>AC</i>. Доказать, что конец <i>D</i> отрезка <i>BD</i>, выходящего из вершины <i>B</i>, параллельного основанию и равного боковой стороне треугольника, является центром вневписанной окружности треугольника.

Даны две окружности, касающиеся друг друга внутренним образом в точке <i>A</i>); из точки <i>B</i> большей окружности, диаметрально противоположной точке <i>A</i>, проведена касательная <i>BC</i> к меньшей окружности. Прямые <i>BC</i> и <i>AC</i> пересекает большую окружность в точках <i>D</i> и <i>E</i> соответственно. Докажите, что дуги <i>DE</i> и <i>BE</i> равны.

В треугольнике <i>ABC</i> высота <i>BD</i> образует со стороной <i>BC</i> угол в 45°. Считается, что прямая <i>BD</i>, содержащая высоту, уже построена. Как одним движением циркуля построить ортоцентр треугольника <i>ABC</i>?

Еще Архимед знал, что шар занимает ровно<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115708/problem_115708_img_2.gif"> </i>объема цилиндра, в который он вписан (шар касается стенок, дна и крышки цилиндра). В цилиндрической упаковке находятся 5 стоящих друг на друге шаров. Найдите отношение пустого места к занятому в этой упаковке.

<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115708/problem_115708_img_3.gif"> </i></center>

Площадь трапеции <i>ABCD</i> равна 405. Диагонали пересекаются в точке <i>O</i>, отрезки, соединяющие середину <i>P</i> основания <i>AD</i> с вершинами <i>B</i> и <i>C</i>, пересекаются с диагоналями трапеции в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Найдите площадь треугольника <i>MON</i>, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

Разрежьте данную фигуру (см. рисунок) на три равных фигуры. <center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115474/problem_115474_img_2.gif"> </i></center>

Найдите среднюю линию трапеции, если известно, что она в полтора раза меньше большего основания и на 3 больше меньшего.

Средняя линия трапеции равна 6, а разность оснований равна 4. Найдите основания.

Точка<i> M </i>лежит на стороне<i> BC </i>треугольника<i> ABC </i>. Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник<i> ABM </i>, в два раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник<i> ACM </i>. Может ли отрезок<i> AM </i>оказаться медианой треугольника<i> ABC </i>?

Точка<i> A </i>лежит в плоскости<i> α </i>, ортогональная проекция отрезка<i> AB </i>на эту плоскость равна 1,<i> AB = </i>2. Найдите расстояние от точки<i> B </i>до плоскости<i> α </i>.

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны. Найдите угол между противоположными боковыми рёбрами.

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны<i> a </i>. Найдите объём пирамиды.

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны<i> a </i>. Найдите высоту пирамиды.

Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра с ребром, равным<i> a </i>.

Найдите объём правильного тетраэдра с ребром, равным<i> a </i>.

Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром<i> a </i>.

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>, боковая грань образует с плоскостью основания угол60<i>^o </i>. Найдите объём пирамиды.

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>, боковая грань образует с плоскостью основания угол60<i>^o </i>. Найдите высоту пирамиды.

Высота правильной шестиугольной пирамиды равна стороне основания. Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания.

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковая грань образует с плоскостью основания угол равный45<i>^o </i>. Найдите объём пирамиды.

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковая грань образует с плоскостью основания угол45<i>^o </i>. Найдите высоту пирамиды.

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол60<i>^o </i>. Найдите объём пирамиды.

На прямой через равные промежутки поставили десять точек, и они заняли отрезок длины <i>a</i>. На другой прямой через такие же промежутки поставили 100 точек, и они заняли отрезок длины <i>b</i>. Во сколько раз <i>b</i> больше <i>a</i>?

Медиана <i>AD</i>, высота <i>BE</i> и биссектриса <i>CF</i> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Известно, что  <i>BO = CO</i>.

Докажите, что треугольник <i>ABC</i> равносторонний.