Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 8 класса - сложность 3 с решениями

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. На продолжениях <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ его высот за точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ выбраны соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что угол <i>PAQ</i> – прямой. Пусть <i>AF</i> – высота треугольника <i>APQ</i>. Докажите, что угол <i>BFC</i> – прямой.

Периметр треугольника <i>ABC</i> равен 4. На лучах <i>AB</i> и <i>AC</i> отмечены точки <i>X</i> и <i>Y</i> так, что  <i>AX = AY</i> = 1.  Отрезки <i>BC</i> и <i>XY</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что периметр одного из треугольников <i>ABM</i> и <i>ACM</i> равен 2.

Пусть <i>ABC</i> – правильный треугольник. На его стороне <i>AC</i> выбрана точка <i>T</i>, а на дугах <i>AB</i> и <i>BC</i> его описанной окружности выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что  <i>MT || BC</i>  и  <i>NT || AB</i>.  Отрезки <i>AN</i> и <i>MT</i> пересекаются в точке <i>X</i>, а отрезки <i>CM</i> и <i>NT</i> – в точке <i>Y</i>. Докажите, что периметры многоугольников <i>AXYC</i> и <i>XMBNY</i> равны.

На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Окружность, проходящая через вершину <i>B</i> и центр <i>O</i> его описанной окружности, вторично пересекает стороны <i>BC</i> и <i>BA</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>POQ</i> лежит на прямой <i>AC</i>.

Выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i> таков, что  <i>AB</i>·<i>CD</i> = <i>AD</i>·<i>BC</i>.  Докажите, что –∠<i>BAC</i> + ∠<i>CBD</i> + ∠<i>DCA</i> + ∠<i>ADB</i> = 180°.

В трапеции <i>ABCD</i> боковая сторона <i>CD</i> перпендикулярна основаниям, <i>O</i> – точка пересечения диагоналей. На описанной окружности треугольника <i>OCD</i> взята точка <i>S</i>, диаметрально противоположная точке <i>O</i>. Докажите, что  ∠<i>BSC</i> = ∠<i>ASD</i>.

На окружности отмечено 2<i>N</i> точек (<i>N</i> – натуральное число). Известно, что через любую точку внутри окружности проходит не более двух хорд с концами в отмеченных точках. Назовем <i>паросочетанием</i> такой набор из <i>N</i> хорд с концами в отмеченных точках, что каждая отмеченная точка является концом ровно одной из этих хорд. Назовём паросочетание <i>чётным</i>, если количество точек, в которых пересекаются его хорды, чётно, и <i>нечётным</i> иначе. Найдите разность между количеством чётных и нечётных паросочетаний.

Дан квадрат <i>n</i>×<i>n</i>. Изначально его клетки раскрашены в белый и чёрный цвета в шахматном порядке, причём хотя бы одна из угловых клеток чёрная. За один ход разрешается в некотором квадрате 2×2 одновременно перекрасить входящие в него четыре клетки по следующему правилу: каждую белую перекрасить в чёрный цвет, каждую чёрную – в зелёный, а каждую зелёную – в белый. При каких <i>n</i> за несколько ходов можно получить шахматную раскраску, в которой чёрный и белый цвета поменялись местами?

Прямую палку длиной 2 метра распилили на <i>N</i> палочек, длина каждой из которых выражается целым числом сантиметров. При каком наименьшем <i>N</i> можно гарантировать, что, использовав все получившиеся палочки, можно, не ломая их, сложить контур некоторого прямоугольника?

Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, точка <i>C</i>₁ симметрична <i>C</i> относительно <i>O</i>, <i>D</i> – середина стороны <i>AB</i>, <i>K</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ODC</i>₁. Докажите, что точка <i>O</i> делит пополам отрезок прямой <i>OK</i>, лежащий внутри угла <i>ACB</i>.

На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i>, причём  <i>AK</i> = 2<i>KC</i>  и  ∠<i>ABK</i> = 2∠<i>KBC</i>.  <i>F</i> – середина стороны <i>AC, L</i> – проекция точки <i>A</i> на <i>BK</i>. Докажите, что прямые <i>FL</i> и <i>BC</i> перпендикулярны.

На сторонах <i>АС</i> и <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечены точки <i>D</i> и <i>Е</i> соответственно так, что  <i>AD</i> = &frac13; <i>AC,  CE</i> = &frac13; <i>CE</i>.  Отрезки <i>АЕ</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Найдите угол <i>BFC</i>.

На некоторых клетках доски 10×10 сидит по блохе. Раз в минуту блохи одновременно прыгают, причём каждая – в соседнюю клетку (по стороне). Блоха прыгает строго в одном из четырёх направлений, параллельных сторонам доски, сохраняет направление, пока это возможно, иначе меняет его на противоположное. Пес Барбос наблюдал за блохами в течение часа и ни разу не видел, чтобы две из них сидели на одной клетке. Какое наибольшее количество блох могло прыгать по доске?

На плоскости дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная, в которой 31 звено (соседние звенья не лежат на одной прямой). Через каждое звено провели прямую, содержащую это звено. Получили 31 прямую, некоторые, возможно, совпали. Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?

Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.

По прямому шоссе со скоростью 60 км в час едет машина. Недалеко от шоссе стоит параллельный ему 100-метровый забор. Каждую секунду пассажир машины измеряет угол, под которым виден забор. Докажите, что сумма всех измеренных им углов меньше 1100°.

На плоскости даны 10 прямых общего положения. При каждой точке пересечения выбирается наименьший угол, образованный проходящими через неё прямыми. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих углов.

По шоссе в одну сторону движутся пешеход и велосипедист, в другую сторону – телега и машина. Все участники движутся с постоянными скоростями (каждый со своей). Велосипедист сначала обогнал пешехода, потом через некоторое время встретил телегу, а потом ещё через такое же время встретил машину. Машина сначала встретила велосипедиста, потом через некоторое время встретила пешехода, и потом ещё через такое же время обогнала телегу. Велосипедист обогнал пешехода в 10 часов, а пешеход встретил машину в 11 часов. Когда пешеход встретил телегу?

На доске начерчен выпуклый четырёхугольник. Алёша утверждает, что его можно разрезать диагональю на два остроугольных треугольника. Боря – что можно на два прямоугольных, а Вася – что на два тупоугольных.

Оказалось, что ровно один из троих неправ. Про кого можно наверняка утверждать, что он прав?

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ – основания высот треугольника <i>ABC</i>. Известно, что  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ = 13,  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ = 14,  <i>A</i>₁<i>C</i>₁ = 15.  Найдите площадь треугольника <i>ABC</i>.

В треугольнике<i> ABC </i>известно, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116315/problem_116315_img_2.gif"> B = </i>50<i>^o </i>,<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116315/problem_116315_img_2.gif"> C = </i>70<i>^o </i>. Найдите углы треугольника<i> OHC </i>, где<i> H </i>— точка пересечения высот,<i> O </i>— центр окружности, вписанной в треугольник<i> ABC </i>.

Точки<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C </i>лежат на окружности радиуса 4 с центром<i> O </i>, а точка<i> M </i>— на прямой, касающейся этой окружности в точке<i> B </i>, причём<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116313/problem_116313_img_2.gif"> AMC = </i>42<i>^o </i>, а длины отрезков<i> AM </i>,<i> BM </i>и<i> CM </i>образуют убывающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол<i> AMO </i>и расстояние между точками<i> A </i>и<i> C </i>. Какой из углов больше:<i> AOM </i>или<i> ACM </i>?

Точки<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C </i>лежат на окружности радиуса 2 с центром<i> O </i>, а точка<i> K </i>— на прямой, касающейся этой окружности в точке<i> B </i>, причём<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116312/problem_116312_img_2.gif"> AKC = </i>46<i>^o </i>, а длины отрезков<i> AK </i>,<i> BK </i>и<i> CK </i>образуют возрастающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол<i> AKO </i>и расстояние между точками<i> A </i>и<i> C </i>. Какой из углов больше:<i> ACK </i>или<i> AOK </i>?

Отрезок<i> AL </i>является биссектрисой треугольника<i> ABC </i>. Окружность радиуса 3 проходит через вершину<i> A </i>, касается стороны<i> BC </i>в точке<i> L </i>и пересекает сторону<i> AB </i>в точке<i> K </i>. Найдите угол<i> BAC </i>и площадь треугольника<i> ABC </i>, если<i> BC=</i>4,<i> AK:LB=</i>3<i>:</i>2.