Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 8 класса - сложность 1 с решениями
В треугольнике <i>ABC</i> высота <i>BD</i> образует со стороной <i>BC</i> угол в 45°. Считается, что прямая <i>BD</i>, содержащая высоту, уже построена. Как одним движением циркуля построить ортоцентр треугольника <i>ABC</i>?
Еще Архимед знал, что шар занимает ровно<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115708/problem_115708_img_2.gif"> </i>объема цилиндра, в который он вписан (шар касается стенок, дна и крышки цилиндра). В цилиндрической упаковке находятся 5 стоящих друг на друге шаров. Найдите отношение пустого места к занятому в этой упаковке.
<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115708/problem_115708_img_3.gif"> </i></center>
Площадь трапеции <i>ABCD</i> равна 405. Диагонали пересекаются в точке <i>O</i>, отрезки, соединяющие середину <i>P</i> основания <i>AD</i> с вершинами <i>B</i> и <i>C</i>, пересекаются с диагоналями трапеции в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Найдите площадь треугольника <i>MON</i>, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.
Разрежьте данную фигуру (см. рисунок) на три равных фигуры. <center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115474/problem_115474_img_2.gif"> </i></center>
Найдите среднюю линию трапеции, если известно, что она в полтора раза меньше большего основания и на 3 больше меньшего.
Средняя линия трапеции равна 6, а разность оснований равна 4. Найдите основания.
Точка<i> M </i>лежит на стороне<i> BC </i>треугольника<i> ABC </i>. Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник<i> ABM </i>, в два раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник<i> ACM </i>. Может ли отрезок<i> AM </i>оказаться медианой треугольника<i> ABC </i>?
Точка<i> A </i>лежит в плоскости<i> α </i>, ортогональная проекция отрезка<i> AB </i>на эту плоскость равна 1,<i> AB = </i>2. Найдите расстояние от точки<i> B </i>до плоскости<i> α </i>.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны. Найдите угол между противоположными боковыми рёбрами.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны<i> a </i>. Найдите объём пирамиды.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны<i> a </i>. Найдите высоту пирамиды.
Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра с ребром, равным<i> a </i>.
Найдите объём правильного тетраэдра с ребром, равным<i> a </i>.
Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром<i> a </i>.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>, боковая грань образует с плоскостью основания угол60<i><sup>o</sup> </i>. Найдите объём пирамиды.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>, боковая грань образует с плоскостью основания угол60<i><sup>o</sup> </i>. Найдите высоту пирамиды.
Высота правильной шестиугольной пирамиды равна стороне основания. Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания.
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковая грань образует с плоскостью основания угол равный45<i><sup>o</sup> </i>. Найдите объём пирамиды.
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковая грань образует с плоскостью основания угол45<i><sup>o</sup> </i>. Найдите высоту пирамиды.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна<i> a </i>. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол60<i><sup>o</sup> </i>. Найдите объём пирамиды.
На прямой через равные промежутки поставили десять точек, и они заняли отрезок длины <i>a</i>. На другой прямой через такие же промежутки поставили 100 точек, и они заняли отрезок длины <i>b</i>. Во сколько раз <i>b</i> больше <i>a</i>?
Медиана <i>AD</i>, высота <i>BE</i> и биссектриса <i>CF</i> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Известно, что <i>BO = CO</i>.
Докажите, что треугольник <i>ABC</i> равносторонний.
Даны точки <i>A</i>(0;0), <i>B</i>(- 2;1), <i>C</i>(3;3), <i>D</i>(2; - 1) и окружность <!-- MATH $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ --> (<i>x</i> - 1)<sup>2</sup> + (<i>y</i> + 3)<sup>2</sup> = 25. Выясните, где расположены эти точки: на окружности, внутри или вне окружности.
Квадрат вписан в равнобедренный прямоугольный треугольник, причём одна вершина квадрата расположена на гипотенузе, противоположная ей вершина совпадает с вершиной прямого угла треугольника, а остальные лежат на катетах. Найдите сторону квадрата, если катет треугольника равен <i>a</i>.
Докажите, что<div align="CENTER"> | <i>x</i>| + | <i>y</i>| + | <i>z</i>|$\displaystyle \le$| <i>x</i> + <i>y</i> - <i>z</i>| + | <i>x</i> - <i>y</i> + <i>z</i>| + |-<i>x</i> + <i>y</i> + <i>z</i>|, </div>где<i>x</i>,<i>y</i>,<i>z</i> — действительные числа.