Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 7 класса - сложность 2 с решениями
<i>AL</i> – биссектриса треугольника <i>ABC, K</i> – такая точка на стороне <i>AC</i>, что <i>CK = CL</i>. Прямая <i>KL</i> и биссектриса угла <i>B</i> пересекаются в точке <i>P</i>.
Докажите, что <i>AP = PL</i>.
В трапеции <i>ABCD</i> основание <i>AD</i> в четыре раза больше чем <i>BC</i>. Прямая, проходящая через середину диагонали <i>BD</i> и параллельная <i>AB</i>, пересекает сторону <i>CD</i> в точке <i>K</i>. Найдите отношение <i>DK</i> : <i>KC</i>.
Диагонали параллелограмма <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. На продолжении стороны <i>AB</i> за точку <i>B</i> отмечена такая точка <i>M</i>, что <i>MC = MD</i>.
Докажите, что ∠<i>AMO</i> = ∠<i>MAD</i>.
В какое наибольшее количество цветов можно раскрасить клетки шахматной доски 8×8 так, чтобы каждая клетка граничила по стороне хотя бы с двумя клетками того же цвета?
На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i>. Отрезок <i>CK</i> пересекает медиану <i>AM</i> треугольника в точке <i>P</i>. Оказалось, что <i>AK = AP</i>.
Найдите отношение <i>BK</i> : <i>PM</i>.
Существует ли шестиугольник, который можно разбить одной прямой на четыре равных треугольника?
В треугольниках <i>АВС</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>: ∠<i>А</i> = ∠<i>А</i><sub>1</sub>, равны высоты, проведённые из вершин <i>В</i> и <i>В</i><sub>1</sub>, а также равны медианы, проведённые из вершин <i>С</i> и <i>С</i><sub>1</sub>. Обязательно ли эти треугольники равны?
Какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, в которой 7 звеньев?
Деревянный брусок тремя распилами распилили на восемь меньших брусков. На рисунке у семи брусков указана их площадь поверхности.
Какова площадь поверхности невидимого бруска?
<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116065/problem_116065_img_2.gif"> </i></center>
Медиана треугольника в полтора раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите угол между двумя другими медианами.
Диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> равнобедренной трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>; известно также, что в трапецию можно вписать окружность.
Докажите, что ∠<i>BOC</i> > 60°.
Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.
Том Сойер взялся покрасить очень длинный забор, соблюдая условие: любые две доски, между которыми ровно две, ровно три или ровно пять досок, должны быть окрашены в разные цвета. Какое наименьшее количество красок потребуется Тому для этой работы?
а) Поросенок Наф-Наф придумал, как сложить параллелепипед из одинаковых кубиков и оклеить его тремя квадратами без щелей и наложений. Сделайте это и вы. б) А может ли Наф-Наф добиться, чтобы при этом каждые два квадрата граничили друг с другом?
На вертикальную ось надели несколько колес со спицами. Вид сверху изображен на левом рисунке.
<center><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115380/problem_115380_img_2.gif"></center> После этого колеса повернули. Новый вид сверху изображен на рисунке справа. Могло ли колес быть: а) три; б) два?
Саша разрезал шахматную доску8<i>× </i>8по границам клеток на30прямоугольников так, чтобы равные прямоугольники не соприкасались даже углами (см. рис.). Попытайтесь улучшить его достижение, разрезав доску на большее число прямоугольников с соблюдением того же условия.
<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115377/problem_115377_img_2.gif"> </i></center>
Докажите, что существует многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую – в отношении 2 : 1.
Петя и Вася живут в соседних домах (см. план на рисунке). Вася живет в четвёртом подъезде. Известно, что Пете, чтобы добежать до Васи кратчайшим путем (не обязательно идущим по сторонам клеток), безразлично, с какой стороны обегать свой дом. Определите, в каком подъезде живет Петя. <div align="center"><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111899/problem_111899_img_2.gif"> </div>
Разрежьте фигуру на рис. на 8 одинаковых частей. <i> <img align="center" src="/storage/problem-media/111894/problem_111894_img_2.gif"> </i>
Внутри равнобедренного треугольника <i>ABC</i> (<i>AB = BC</i>) выбрана точка <i>M</i> таким образом, что ∠<i>AMC</i> = 2∠<i>B</i>. На отрезке <i>AM</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что
∠<i>BKM</i> = ∠<i>B</i>. Докажите, что <i>BK = KM + MC</i>.
В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны.
Докажите, что все восемь отрезков равны.
Существует ли правильный многоугольник, в котором ровно половина диагоналей параллельна сторонам?
Петя разрезал фигуру на две равные части, как показано на рисунке. Придумайте, как разрезать эту фигуру на две равные части другим способом.
<center><i> <img src="/storage/problem-media/111637/problem_111637_img_2.gif"> </i></center>
Серёжа вырезал из картона две одинаковые фигуры. Он положил их с нахлёстом на дно прямоугольного ящика. Дно оказалось полностью покрыто. В центр дна вбили гвоздь. Мог ли гвоздь проткнуть одну картонку и не проткнуть другую?
<center><i> <img src="/storage/problem-media/111320/problem_111320_img_2.gif"> </i></center> Автостоянка в Цветочном городе представляет собой квадрат7<i>x </i>7клеточек, в каждой из которых можно поставить машину. Стоянка обнесена забором, одна из сторон угловой клетки удалена (это ворота). Машина ездит по дорожке шириной в клетку. Незнайку попросили разместить как можно больше машин на стоянке таким образом, чтобы любая могла выехать, когда прочие стоят. Незнайка расставил 24 машины так, как показано на рис.. Попытайтесь расставить машины по-другому, чтобы их поместилось больше.