Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 7 класса - сложность 1-2 с решениями

Торт упакован в коробку с квадратным основанием. Высота коробки вдвое меньше стороны этого квадрата. Ленточкой длины 156 см можно перевязать коробку и сделать бантик сверху (как на рисунке слева). А чтобы перевязать её с точно таким же бантиком сбоку (как на рисунке справа), нужна ленточка длины 178 см. Найдите размеры коробки. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116606/problem_116606_img_2.gif"></div>

Разрежьте рамку (см. рис.) на 16 равных частей. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116603/problem_116603_img_2.gif"></div>

На плоскости даны шесть точек. Известно, что их можно разбить на две тройки так, что получатся два треугольника. Всегда ли можно разбить эти точки на две тройки так, чтобы получились два треугольника, которые не имеют друг с другом никаких общих точек (ни внутри, ни на границе)?

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, причём прямая <i>KL</i> параллельна <i>BC</i> и  <i>KL = KC</i>.  На стороне <i>BC</i> выбрана точка <i>M</i> так, что  ∠<i>KMB</i> = ∠<i>BAC</i>.  Докажите, что  <i>KM = AL</i>. <small>Также доступны документы в формате TeX</small>

В окружности с центром <i>O</i> проведена хорда <i>AB</i> и радиус <i>OK</i>, пересекающий её под прямым углом в точке <i>M</i>. На большей дуге <i>AB</i> окружности выбрана точка <i>P</i>, отличная от середины этой дуги. Прямая <i>PM</i> вторично пересекает окружность в точке <i>Q</i>, а прямая <i>PK</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>R</i>. Докажите, что  <i>KR > MQ</i>.

На сторонах <i>AC</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что  <i>MN || AB</i>.  На стороне <i>AC</i> отмечена точка <i>K</i> так, что  <i>CK = AM</i>.  Отрезки <i>AN</i> и <i>BK</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Докажите, что площади треугольника <i>ABF</i> и четырёхугольника <i>KFNC</i> равны.

<i>AL</i> – биссектриса треугольника <i>ABC, K</i> – такая точка на стороне <i>AC</i>, что  <i>CK = CL</i>.  Прямая <i>KL</i> и биссектриса угла <i>B</i> пересекаются в точке <i>P</i>.

Докажите, что  <i>AP = PL</i>.

В трапеции <i>ABCD</i> основание <i>AD</i> в четыре раза больше чем <i>BC</i>. Прямая, проходящая через середину диагонали <i>BD</i> и параллельная <i>AB</i>, пересекает сторону <i>CD</i> в точке <i>K</i>. Найдите отношение <i>DK</i> : <i>KC</i>.

Диагонали параллелограмма <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. На продолжении стороны <i>AB</i> за точку <i>B</i> отмечена такая точка <i>M</i>, что  <i>MC = MD</i>.

Докажите, что  ∠<i>AMO</i> = ∠<i>MAD</i>.

В какое наибольшее количество цветов можно раскрасить клетки шахматной доски 8×8 так, чтобы каждая клетка граничила по стороне хотя бы с двумя клетками того же цвета?

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i>. Отрезок <i>CK</i> пересекает медиану <i>AM</i> треугольника в точке <i>P</i>. Оказалось, что  <i>AK = AP</i>.

Найдите отношение  <i>BK</i> : <i>PM</i>.

Существует ли шестиугольник, который можно разбить одной прямой на четыре равных треугольника?

В треугольниках <i>АВС</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁:  ∠<i>А</i> = ∠<i>А</i>₁,  равны высоты, проведённые из вершин <i>В</i> и <i>В</i>₁, а также равны медианы, проведённые из вершин <i>С</i> и <i>С</i>₁. Обязательно ли эти треугольники равны?

Дан квадрат <i>ABCD</i>. На стороне <i>AD</i> внутрь квадрата построен равносторонний треугольник <i>ADE</i>. Диагональ <i>AC</i> пересекает сторону <i>ED</i> этого треугольника в точке <i>F</i>. Докажите, что  <i>CE = CF</i>.

Какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, в которой 7 звеньев?

В окружности провели диаметр <i>AB</i> и параллельную ему хорду <i>CD</i>, так, что расстояние между ними равно половине радиуса этой окружности (см. рис.). Найдите угол <i>CAB</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116143/problem_116143_img_2.gif"></div>

Деревянный брусок тремя распилами распилили на восемь меньших брусков. На рисунке у семи брусков указана их площадь поверхности.

Какова площадь поверхности невидимого бруска?

<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116065/problem_116065_img_2.gif"> </i></center>

Разрежьте квадрат 6×6 клеточек на трёхклеточные уголки (см. рис.) так, чтобы никакие два уголка не образовывали прямоугольник 2×3. <center> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116061/problem_116061_img_2.gif"> </center>

Прямоугольный лист бумаги согнули, совместив вершину с серединой противоположной короткой стороны (см. рис.). Оказалось, что треугольники I и II равны. Найдите длинную сторону прямоугольника, если короткая равна 8. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116057/problem_116057_img_2.gif"></div>

Ниже приведён фрагмент мозаики, которая состоит из ромбиков двух видов: "широких" и "узких" (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116054/problem_116054_img_2.gif"></div><div align="center"><img src="/storage/problem-media/116054/problem_116054_img_3.gif"></div>Нарисуйте, как по линиям мозаики вырезать фигуру, состоящую ровно из 3 "широких" и 8 "узких" ромбиков. (Фигура не должна распадаться на части.)

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i> с основанием <i>AC</i>. Доказать, что конец <i>D</i> отрезка <i>BD</i>, выходящего из вершины <i>B</i>, параллельного основанию и равного боковой стороне треугольника, является центром вневписанной окружности треугольника.

Даны две окружности, касающиеся друг друга внутренним образом в точке <i>A</i>); из точки <i>B</i> большей окружности, диаметрально противоположной точке <i>A</i>, проведена касательная <i>BC</i> к меньшей окружности. Прямые <i>BC</i> и <i>AC</i> пересекает большую окружность в точках <i>D</i> и <i>E</i> соответственно. Докажите, что дуги <i>DE</i> и <i>BE</i> равны.

Медиана треугольника в полтора раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите угол между двумя другими медианами.

Диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> равнобедренной трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>; известно также, что в трапецию можно вписать окружность.

Докажите, что  ∠<i>BOC</i> > 60°.

Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.