Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 6-7 класса - сложность 2 с решениями
На плоскости даны шесть точек. Известно, что их можно разбить на две тройки так, что получатся два треугольника. Всегда ли можно разбить эти точки на две тройки так, чтобы получились два треугольника, которые не имеют друг с другом никаких общих точек (ни внутри, ни на границе)?
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, причём прямая <i>KL</i> параллельна <i>BC</i> и <i>KL = KC</i>. На стороне <i>BC</i> выбрана точка <i>M</i> так, что ∠<i>KMB</i> = ∠<i>BAC</i>. Докажите, что <i>KM = AL</i>. <small>Также доступны документы в формате TeX</small>
В окружности с центром <i>O</i> проведена хорда <i>AB</i> и радиус <i>OK</i>, пересекающий её под прямым углом в точке <i>M</i>. На большей дуге <i>AB</i> окружности выбрана точка <i>P</i>, отличная от середины этой дуги. Прямая <i>PM</i> вторично пересекает окружность в точке <i>Q</i>, а прямая <i>PK</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>R</i>. Докажите, что <i>KR > MQ</i>.
На сторонах <i>AC</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что <i>MN || AB</i>. На стороне <i>AC</i> отмечена точка <i>K</i> так, что <i>CK = AM</i>. Отрезки <i>AN</i> и <i>BK</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Докажите, что площади треугольника <i>ABF</i> и четырёхугольника <i>KFNC</i> равны.
<i>AL</i> – биссектриса треугольника <i>ABC, K</i> – такая точка на стороне <i>AC</i>, что <i>CK = CL</i>. Прямая <i>KL</i> и биссектриса угла <i>B</i> пересекаются в точке <i>P</i>.
Докажите, что <i>AP = PL</i>.
В трапеции <i>ABCD</i> основание <i>AD</i> в четыре раза больше чем <i>BC</i>. Прямая, проходящая через середину диагонали <i>BD</i> и параллельная <i>AB</i>, пересекает сторону <i>CD</i> в точке <i>K</i>. Найдите отношение <i>DK</i> : <i>KC</i>.
Диагонали параллелограмма <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. На продолжении стороны <i>AB</i> за точку <i>B</i> отмечена такая точка <i>M</i>, что <i>MC = MD</i>.
Докажите, что ∠<i>AMO</i> = ∠<i>MAD</i>.
В какое наибольшее количество цветов можно раскрасить клетки шахматной доски 8×8 так, чтобы каждая клетка граничила по стороне хотя бы с двумя клетками того же цвета?
На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i>. Отрезок <i>CK</i> пересекает медиану <i>AM</i> треугольника в точке <i>P</i>. Оказалось, что <i>AK = AP</i>.
Найдите отношение <i>BK</i> : <i>PM</i>.
Квадрат 8×8 распилили на квадраты 2×2 и прямоугольники 1×4. При этом общая длина распилов оказалась равна 54.
Сколько фигурок каждого вида получилось?
Прямоугольник разделён двумя вертикальными и двумя горизонтальными отрезками на девять прямоугольных частей. Площади некоторых из получившихся частей указаны на рисунке. Найдите площадь верхней правой части. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116469/problem_116469_img_2.gif"></div>
Существует ли шестиугольник, который можно разбить одной прямой на четыре равных треугольника?
В треугольниках <i>АВС</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>: ∠<i>А</i> = ∠<i>А</i><sub>1</sub>, равны высоты, проведённые из вершин <i>В</i> и <i>В</i><sub>1</sub>, а также равны медианы, проведённые из вершин <i>С</i> и <i>С</i><sub>1</sub>. Обязательно ли эти треугольники равны?
Какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, в которой 7 звеньев?
Деревянный брусок тремя распилами распилили на восемь меньших брусков. На рисунке у семи брусков указана их площадь поверхности.
Какова площадь поверхности невидимого бруска?
<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116065/problem_116065_img_2.gif"> </i></center>
Медиана треугольника в полтора раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите угол между двумя другими медианами.
Диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> равнобедренной трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>; известно также, что в трапецию можно вписать окружность.
Докажите, что ∠<i>BOC</i> > 60°.
Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.
Том Сойер взялся покрасить очень длинный забор, соблюдая условие: любые две доски, между которыми ровно две, ровно три или ровно пять досок, должны быть окрашены в разные цвета. Какое наименьшее количество красок потребуется Тому для этой работы?
а) Поросенок Наф-Наф придумал, как сложить параллелепипед из одинаковых кубиков и оклеить его тремя квадратами без щелей и наложений. Сделайте это и вы. б) А может ли Наф-Наф добиться, чтобы при этом каждые два квадрата граничили друг с другом?
На вертикальную ось надели несколько колес со спицами. Вид сверху изображен на левом рисунке.
<center><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115380/problem_115380_img_2.gif"></center> После этого колеса повернули. Новый вид сверху изображен на рисунке справа. Могло ли колес быть: а) три; б) два?
Саша разрезал шахматную доску8<i>× </i>8по границам клеток на30прямоугольников так, чтобы равные прямоугольники не соприкасались даже углами (см. рис.). Попытайтесь улучшить его достижение, разрезав доску на большее число прямоугольников с соблюдением того же условия.
<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115377/problem_115377_img_2.gif"> </i></center>
Докажите, что существует многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую – в отношении 2 : 1.
Петя и Вася живут в соседних домах (см. план на рисунке). Вася живет в четвёртом подъезде. Известно, что Пете, чтобы добежать до Васи кратчайшим путем (не обязательно идущим по сторонам клеток), безразлично, с какой стороны обегать свой дом. Определите, в каком подъезде живет Петя. <div align="center"><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111899/problem_111899_img_2.gif"> </div>
Разрежьте фигуру на рис. на 8 одинаковых частей. <i> <img align="center" src="/storage/problem-media/111894/problem_111894_img_2.gif"> </i>