Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 2-7 класса - сложность 2-4 с решениями

<img align="right" src="/storage/problem-media/116673/problem_116673_img_2.gif">Кузнечик умеет прыгать только ровно на 50 см. Он хочет обойти 8 точек, отмеченных на рисунке (сторона клетки равна 10 см). Какое наименьшее количество прыжков ему придётся сделать? (Разрешается посещать и другие точки плоскости, в том числе не узлы сетки. Начинать и заканчивать можно в любых точках.)

Через точку <i>Y</i> на стороне <i>AB</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, пересекающая сторону <i>BC</i> в точке <i>Z</i>, а продолжение стороны <i>CA</i> за точку <i>A</i> – в точке <i>X</i>. Известно, что  <i>XY = YZ</i>  и  <i>AY = BZ</i>.  Докажите, что прямые <i>XZ</i> и <i>BC</i> перпендикулярны.

В треугольнике <i>ABC</i> биссектриса угла <i>C</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>M</i>, а биссектриса угла <i>A</i> пересекает отрезок <i>CM</i> в точке <i>T</i>. Оказалось, что отрезки <i>CM</i> и <i>AT</i> разбили треугольник <i>ABC</i> на три равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.

План дворца шаха – это квадрат размером 6×6, разбитый на комнаты размером 1×1. В середине каждой стены между комнатами есть дверь. Шах сказал своему архитектору: "Cломай часть стен так, чтобы все комнаты стали размером 2×1, новых дверей не появилось, а путь между любыми двумя комнатами проходил не более, чем через <i>N</i> дверей". Какое наименьшее значение <i>N</i> должен назвать шах, чтобы приказ можно было выполнить?

Квадрат разрезали на несколько частей. Переложив эти части, из них всех сложили треугольник. Затем к этим частям добавили еще одну фигурку – и оказалось, что и из нового набора фигурок можно сложить как квадрат, так и треугольник. Покажите, как такое могло бы произойти (нарисуйте, как именно эти два квадрата и два треугольника могли бы быть составлены из фигурок).

На плоскости даны шесть точек. Известно, что их можно разбить на две тройки так, что получатся два треугольника. Всегда ли можно разбить эти точки на две тройки так, чтобы получились два треугольника, которые не имеют друг с другом никаких общих точек (ни внутри, ни на границе)?

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, причём прямая <i>KL</i> параллельна <i>BC</i> и  <i>KL = KC</i>.  На стороне <i>BC</i> выбрана точка <i>M</i> так, что  ∠<i>KMB</i> = ∠<i>BAC</i>.  Докажите, что  <i>KM = AL</i>. <small>Также доступны документы в формате TeX</small>

В окружности с центром <i>O</i> проведена хорда <i>AB</i> и радиус <i>OK</i>, пересекающий её под прямым углом в точке <i>M</i>. На большей дуге <i>AB</i> окружности выбрана точка <i>P</i>, отличная от середины этой дуги. Прямая <i>PM</i> вторично пересекает окружность в точке <i>Q</i>, а прямая <i>PK</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>R</i>. Докажите, что  <i>KR > MQ</i>.

На сторонах <i>AC</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что  <i>MN || AB</i>.  На стороне <i>AC</i> отмечена точка <i>K</i> так, что  <i>CK = AM</i>.  Отрезки <i>AN</i> и <i>BK</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Докажите, что площади треугольника <i>ABF</i> и четырёхугольника <i>KFNC</i> равны.

<i>AL</i> – биссектриса треугольника <i>ABC, K</i> – такая точка на стороне <i>AC</i>, что  <i>CK = CL</i>.  Прямая <i>KL</i> и биссектриса угла <i>B</i> пересекаются в точке <i>P</i>.

Докажите, что  <i>AP = PL</i>.

В трапеции <i>ABCD</i> основание <i>AD</i> в четыре раза больше чем <i>BC</i>. Прямая, проходящая через середину диагонали <i>BD</i> и параллельная <i>AB</i>, пересекает сторону <i>CD</i> в точке <i>K</i>. Найдите отношение <i>DK</i> : <i>KC</i>.

Диагонали параллелограмма <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. На продолжении стороны <i>AB</i> за точку <i>B</i> отмечена такая точка <i>M</i>, что  <i>MC = MD</i>.

Докажите, что  ∠<i>AMO</i> = ∠<i>MAD</i>.

В какое наибольшее количество цветов можно раскрасить клетки шахматной доски 8×8 так, чтобы каждая клетка граничила по стороне хотя бы с двумя клетками того же цвета?

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i>. Отрезок <i>CK</i> пересекает медиану <i>AM</i> треугольника в точке <i>P</i>. Оказалось, что  <i>AK = AP</i>.

Найдите отношение  <i>BK</i> : <i>PM</i>.

Квадрат 8×8 распилили на квадраты 2×2 и прямоугольники 1×4. При этом общая длина распилов оказалась равна 54.

Сколько фигурок каждого вида получилось?

Прямоугольник разделён двумя вертикальными и двумя горизонтальными отрезками на девять прямоугольных частей. Площади некоторых из получившихся частей указаны на рисунке. Найдите площадь верхней правой части. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116469/problem_116469_img_2.gif"></div>

Каждое звено несамопересекающейся ломаной состоит из нечётного числа сторон клеток квадрата 100×100, соседние звенья перпендикулярны.

Может ли ломаная пройти через все вершины клеток?

Существует ли шестиугольник, который можно разбить одной прямой на четыре равных треугольника?

В треугольниках <i>АВС</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁:  ∠<i>А</i> = ∠<i>А</i>₁,  равны высоты, проведённые из вершин <i>В</i> и <i>В</i>₁, а также равны медианы, проведённые из вершин <i>С</i> и <i>С</i>₁. Обязательно ли эти треугольники равны?

Какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, в которой 7 звеньев?

Деревянный брусок тремя распилами распилили на восемь меньших брусков. На рисунке у семи брусков указана их площадь поверхности.

Какова площадь поверхности невидимого бруска?

<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116065/problem_116065_img_2.gif"> </i></center>

Медиана треугольника в полтора раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите угол между двумя другими медианами.

Диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> равнобедренной трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>; известно также, что в трапецию можно вписать окружность.

Докажите, что  ∠<i>BOC</i> > 60°.

Вокруг равнобедренного треугольника <i>ABC</i> с основанием <i>AC</i> описана окружность ω. Точка <i>F</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC</i>; продолжение высоты <i>CE</i> пересекает ω в точке <i>G</i>. Докажите, что высота <i>AD</i> является касательной к описанной окружности треугольника <i>GBF</i>.

Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.