Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 11 класса
Точка <i>E</i> – середина отрезка, соединяющего ортоцентр неравнобедренного остроугольного треугольника <i>ABC</i> с его вершиной <i>A</i>. Вписанная окружность этого треугольника касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>C'</i> и <i>B'</i> соответственно. Докажите, что точка <i>F</i>, симметричная точке <i>E</i> относительно прямой <i>B'C'</i>, лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.
Окружность ω, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>, касается стороны <i>BC</i> в точке <i>D</i>. Пусть точка <i>I</i> – центр окружности ω, а <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Описанная окружность треугольника <i>AID</i>, пересекает вторично прямую <i>AO</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что длина отрезка <i>AE</i> равна радиусу окружности ω.
Касательные, проведённые к описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>C</i>, пересекаются в точке <i>Z. AA</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> – высоты. Прямая <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> пересекает прямые <i>ZA, ZC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>ABC</i> и <i>XYZ</i> касаются.
Внутри окружности с центром <i>O</i> отмечены точки <i>A</i> и <i>B</i> так, что <i>OA = OB</i>.
Постройте на окружности точку <i>M</i>, для которой сумма расстояний до точек <i>A</i> и <i>B</i> наименьшая среди всех возможных.
Внутри выпуклого многогранника выбрана точка <i>P</i> и несколько прямых <i>l</i><sub>1</sub>, ..., <i>l<sub>n</sub></i>, проходящих через <i>P</i> и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых <i>l</i><sub>1</sub>, ..., <i>l<sub>n</sub></i>, которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.
<i>H</i> – точка пересечения высот <i>AA'</i> и <i>BB'</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Прямая, перпендикулярная <i>AB</i>, пересекает эти высоты в точках <i>D</i> и <i>E</i>, а сторону <i>AB</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>DEH</i> лежит на отрезке <i>CP</i>.
В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i>: ∠<i>A</i> = ∠<i>C</i> = 90°, <i>AB = AE</i>, <i>BC = CD</i>, <i>AC</i> = 1. Найдите площадь пятиугольника.
Верно ли, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного?
а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь <i>n</i>-го прямоугольника равна <i>n</i>². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа <i>N</i> найдутся квадраты суммарной площади больше <i>N</i>?
Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.
Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116727/problem_116727_img_2.gif"> .
Внутри круга отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что их можно разбить на пары и провести прямую через каждую пару так, чтобы все точки пересечения прямых были в круге.
В равностороннем треугольнике <i>ABC</i> провели высоту <i>AH</i>. В треугольнике <i>ABH</i> отметили точку <i>I</i> пересечения биссектрис. В треугольниках <i>ABI, BCI</i> и <i>CAI</i> тоже отметили точки пересечения биссектрис – <i>L, K</i> и <i>J</i> соответственно. Найдите угол <i>KJL</i>.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> без параллельных сторон вписан в окружность. Для каждой пары касающихся окружностей, одна из которых имеет хорду <i>AB</i>, а другая – хорду <i>CD</i>, отметим их точку касания <i>X</i>. Докажите, что все такие точки <i>X</i> лежат на одной окружности.
На плоскости нарисовали кривые <i>y</i> = cos <i>x</i> и <i>x</i> = 100 cos(100<i>y</i>) и отметили все точки их пересечения, координаты которых положительны. Пусть <i>a</i> – сумма абсцисс, а <i>b</i> – сумма ординат этих точек. Найдите <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>b</i></sub>.
Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причём хотя бы два из этих трёх рёбер равны.
Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.
После обеда на <i>прозрачной</i> квадратной скатерти остались тёмные пятна общей площади <i>S</i>. Оказалось, что если сложить скатерть пополам вдоль любой из двух линий, соединяющих середины противоположных её сторон, или же вдоль одной из двух её диагоналей, то общая видимая площадь пятен будет равна <i>S</i><sub>1</sub>. Если же сложить скатерть пополам вдоль другой её диагонали, то общая видимая площадь пятен останется равна <i>S</i>. Какое наименьшее значение может принимать величина <i>S</i><sub>1</sub> : <i>S</i>?
На плоской горизонтальной площадке стоят пять прожекторов, каждый из которых испускает лазерный луч под одним из двух острых углов α или β к площадке и может вращаться лишь вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину луча. Известно, что любые четыре из этих прожекторов можно повернуть так, что все четыре испускаемых ими луча пересекутся в одной точке. Обязательно ли можно так повернуть все пять прожекторов, чтобы все пять лучей пересеклись в одной точке?
Про бесконечный набор прямоугольников известно, что в нём для любого числа <i>S</i> найдутся прямоугольники суммарной площади больше <i>S</i>.
а) Обязательно ли этим набором можно покрыть всю плоскость, если при этом допускаются наложения?
б) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что все прямоугольники в наборе являются квадратами.
В треугольнике <i>ABC</i> высоты или их продолжения пересекаются в точке <i>H</i>, а <i>R</i> – радиус его описанной окружности.
Докажите, что если ∠<i>A</i> ≤ ∠<i>B</i> ≤ ∠<i>C</i>, то <i>AH + BH</i> ≥ 2<i>R</i>.
Для заданных значений <i>a, b, c</i> и <i>d</i> оказалось, что графики функций <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_2.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_3.gif"> имеют ровно одну общую точку. Докажите, что графики функций <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_4.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_5.gif"> также имеют ровно одну общую точку.
Дан неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>N</i> – середина дуги <i>BAC</i> его описанной окружности, а <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>. Обозначим через <i>I</i><sub>1</sub> и <i>I</i><sub>2</sub> центры вписанных окружностей треугольников <i>ABM</i> и <i>ACM</i> соответственно. Докажите, что точки <i>I</i><sub>1</sub>, <i>I</i><sub>2</sub>, <i>A</i>, <i>N</i> лежат на одной окружности.
По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.
На стороне <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> (∠<i>A</i> < 90°) отмечена точка <i>T</i> так, что треугольник <i>ATD</i> – остроугольный. Пусть <i>O</i><sub>1</sub>, <i>O</i><sub>2</sub> и <i>O</i><sub>3</sub> – центры описанных окружностей треугольников <i>ABT</i>, <i>DAT</i> и <i>CDT</i> соответственно (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116647/problem_116647_img_2.gif"></div>Докажите, что ортоцентр треугольника<i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub><i>O</i><sub>3</sub>лежит...
Докажите, что в правильной треугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями больше чем 60°.
Каждый узел бесконечной сетки покрашен в один из четырёх цветов так, что вершины каждого квадрата со стороной 1 окрашены в разные цвета. Верно ли, что узлы одной из прямых сетки окрашены только в два цвета? (Сетка образована горизонтальными и вертикальными прямыми. Расстояние между соседними параллельными прямыми равно 1.)