Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 10 класса - сложность 1-2 с решениями

Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Прямая, пересекающая отрезок <i>PQ</i>, последовательно пересекает эти окружности в точках <i>A, B, C</i> и <i>D</i>.

Докажите, что  ∠<i>APB</i> = ∠<i>CQD</i>.

Существует ли трапеция, в которой каждая диагональ разбивает её на два равнобедренных треугольника?

Верно ли, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного?

Четырёхугольник <i>ABCD</i> без параллельных сторон вписан в окружность. Для каждой пары касающихся окружностей, одна из которых имеет хорду <i>AB</i>, а другая – хорду <i>CD</i>, отметим их точку касания <i>X</i>. Докажите, что все такие точки <i>X</i> лежат на одной окружности.

На плоскости нарисовали кривые  <i>y</i> = cos <i>x</i>  и  <i>x</i> = 100 cos(100<i>y</i>)  и отметили все точки их пересечения, координаты которых положительны. Пусть <i>a</i> – сумма абсцисс, а <i>b</i> – сумма ординат этих точек. Найдите  ^<i>a</i>/_<i>b</i>.

Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причём хотя бы два из этих трёх рёбер равны.

Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.

На доске 8×8 стоят 8 не бьющих друг друга ладей. Все клетки доски распределяются во <i>владения</i> этих ладей по следующему правилу. Клетка, на которой стоит ладья, отдаётся этой ладье. Клетку, которую бьют две ладьи, получает та из ладей, которая ближе к этой клетке; если же эти две ладьи равноудалены от клетки, то каждая из них получает по полклетки. Докажите, что площади владений всех ладей одинаковы.

Докажите, что в правильной треугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями больше чем 60°.

Внутри прямоугольного треугольника <i>АВС</i> выбрана произвольная точка <i>Р</i>, из которой опущены перпендикуляры <i>PK</i> и <i>РМ</i> на катеты <i>АС</i> и <i>ВС</i> соответственно. Прямые <i>АР</i> и <i>ВР</i> пересекают катеты в точках <i>A</i>' и <i>B</i>' соответственно. Известно, что  <i>S_APB'</i> : <i>S_KPB' = m</i>.  Найдите  <i>S_MPA'</i> : <i>S_BPA'</i>.

Вокруг цилиндрической колонны высотой 20 метров и диаметра 3 метра обвита узкая лента, которая поднимается от подножия до вершины семью полными витками. Какова длина ленты?

В трапеции <i>ABCD</i>  (<i>AD || BC</i>)  из точки <i>Е</i> – середины <i>CD</i> провели перпендикуляр <i>EF</i> к прямой <i>AB</i>. Найдите площадь трапеции, если  <i>АВ</i> = 5,  <i>EF</i> = 4.

На плоскости нарисованы <i>n</i> > 2 различных векторов  <i><b>a</b></i>₁, <i><b>a</b></i>₂, ..., <i><b>a</b>_n</i>  с равными длинами. Оказалось, что все векторы  –<i><b>a</b></i>₁ + <i><b>a</b></i>₂ + ... + <i><b>a</b>_n</i>,

<i><b>a</b></i>₁ – <i><b>a</b></i>₂ + <i><b>a</b></i>₃ + ... + <i><b>a</b>_n</i>,  <...

Через вершины основания четырёхугольной пирамиды <i>SABCD</i> проведены прямые, параллельные противоположным боковым рёбрам (через вершину <i>A</i> – параллельно <i>SC</i>, и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – параллелограмм.

Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?

Дан выпуклый шестиугольник <i>ABCDEF</i>. Известно, что  ∠<i>FAE</i> = ∠<i>BDC</i>,  а четырёхугольники <i>ABDF</i> и <i>ACDE</i> являются вписанными.

Докажите, что прямые <i>BF</i> и <i>CE</i> параллельны.

На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> отметили произвольную точку <i>D</i>. Точки <i>E</i> и <i>F</i> симметричны точке <i>D</i> относительно биссектрис углов <i>A</i> и <i>C</i> соответственно. Докажите, что середина отрезка <i>EF</i> лежит на прямой <i>A</i>₀<i>C</i>₀, где <i>A</i>₀ и <i>C</i>₀ – точки касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со сторонами <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно.

Окружности ω₁ и ω₂ касаются внешним образом в точке <i>P</i>. Через центр ω₁ проведена прямая <i>l</i>₁, касающаяся ω₂. Аналогично прямая <i>l</i>₂ касается ω₁ и проходит через центр ω₂. Оказалось, что прямые <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂ непараллельны. Докажите, что точка <i>P</i> лежит на биссектрисе одного из углов, образованных <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂.

Каково максимальное число попарно непараллельных отрезков с концами в вершинах правильного <i>n</i>-угольника?

Докажите, что диагонали <i>AD, BE, CF</i> вписанного шестиугольника <i>ABCDEF</i> пересекаются в одной точке в каждом из следующих случаев:

  а)  <i>AB = BC</i>,  <i>CD = DE</i>,  <i>EF = FA</i>;

  б)  <i>AB = BC</i>,  <i>CD = FA</i>,  <i>EF = DE</i>;

  в)  <i>AB = DE</i>,  <i>CD = FA</i>,  <i>EF = BC</i>.

В неравнобедренном остроугольном треугольнике <i>ABC</i> точки <i>C</i>₀ и <i>B</i>₀ – середины сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> соответственно, <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>H</i> – точка пересечения высот. Прямые <i>BH</i> и <i>OC</i>₀ пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>CH</i> и <i>OB</i>₀ – в точке <i>Q</i>. Оказалось, что четырёхугольник <i>OPHQ</i> – ромб. Докажите, что точки <i>A, P</i> и <i>Q</i> лежат на одной прямой.

На стороне <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>K</i> так, что ∠<i>ABM</i> = ∠<i>CBK</i>.

Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ABM, ABK, CBM</i> и <i>CBK</i> лежат на одной окружности.

Рассматриваются все треугольники <i>АВС</i>, у которых положение вершин <i>В</i> и <i>С</i> зафиксировано, а вершина <i>А</i> перемещается в плоскости треугольника так, что медиана <i>СМ</i> имеет одну и ту же длину. По какой траектории движется точка <i>А</i>?

В прямоугольном треугольнике <i>АВС</i> угол <i>А</i> равен 60°, <i>М</i> – середина гипотенузы <i>АВ</i>.

Найдите угол <i>IMA</i>, где <i>I</i> – центр окружности, вписанной в данный треугольник.

Найдите среднюю линию равнобокой трапеции, если ее диагональ равна 25, а высота равна 15.

Можно ли начертить два треугольника так, чтобы образовался девятиугольник?