Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 1-9 класса - сложность 2 с решениями

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором  <i>BC = a</i>,  <i>AB = AC = b</i>.  На стороне <i>AC</i> во внешнюю сторону построен треугольник <i>ADC</i>, в котором

<i>AD = DC = a</i>.  Пусть <i>CM</i> и <i>CN</i> – биссектрисы в треугольниках <i>ABC</i> и <i>ADC</i> соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника <i>CMN</i>.

<i>ABC</i> – равнобедренный прямоугольный треугольник. На продолжении гипотенузы <i>AB</i> за точку <i>A</i> взята точка <i>D</i> так, что  <i>AB</i> = 2<i>AD</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> на стороне <i>AC</i> таковы, что  <i>AM = NC</i>.  На продолжении стороны <i>CB</i> за точку <i>B</i> взята такая точка <i>K</i>, что  <i>CN = BK</i>.  Найдите угол между прямыми <i>NK</i> и <i>DM</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> провели высоты <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁, которые пересекаются в точке <i>O</i>. Затем провели высоту <i>A</i>₁<i>A</i>₂ треугольника <i>OBA</i>₁ и высоту <i>B</i>₁<i>B</i>₂ треугольника <i>OAB</i>₁. Докажите, что отрезок <i>A</i>₂<i>B</i>₂ параллелен стороне <i>AB</i>.

Существует ли такие выпуклый четырёхугольник и точка <i>P</i> внутри него, что сумма расстояний от <i>P</i> до вершин больше периметра четырёхугольника?

В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрисы <i>BB'</i> и <i>CC'</i>, а затем стёрли весь рисунок, кроме точек <i>A, B'</i> и <i>C'</i>.

Восстановите треугольник <i>ABC</i> при помощи циркуля и линейки.

Точка <i>M</i> – середина основания <i>AC</i> остроугольного равнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Точка <i>N</i> симметрична <i>M</i> относительно <i>BC</i>. Прямая, параллельная <i>AC</i> и проходящая через точку <i>N</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>K</i>. Найдите угол <i>AKC</i>.

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> отмечены точки <i>L</i> и <i>K</i> соответственно, <i>M</i> – точка пересечения отрезков <i>AK</i> и <i>CL</i>. Известно, что площадь треугольника <i>AMC</i> равна площади четырёхугольника <i>LBKM</i>. Найдите угол <i>AMC</i>.

Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на три части так, чтобы в каждой из частей была снежинка и из этих частей можно было бы сложить квадрат.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116859/problem_116859_img_2.gif"></div>

Точка <i>K</i> – середина гипотенузы <i>АВ</i> прямоугольного треугольника <i>АВС</i>. На катетах <i>АС</i> и <i>ВС</i> выбраны точки <i>М</i> и <i>N</i> соответственно так, что угол <i>МKN</i> – прямой. Докажите, что из отрезков <i>АМ, ВN</i> и <i>MN</i> можно составить прямоугольный треугольник.

В трапеции <i>ABCD</i> основание <i>BC</i> в два раза меньше основания <i>AD</i>. Из вершины <i>D</i> опущен перпендикуляр <i>DE</i> на сторону <i>AB</i>. Докажите, что  <i>СЕ = CD</i>.

Через концы основания <i>BC</i> трапеции <i>ABCD</i> провели окружность, которая пересекла боковые стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Известно, что точка <i>T</i> пересечения отрезков <i>AN</i> и <i>DM</i> также лежит на этой окружности. Докажите, что  <i>TB</i> = <i>TC</i>.

В параллелограмме <i>ABCD</i> диагональ <i>АС</i> в два раза больше стороны <i>АВ</i>. На стороне <i>BC</i> выбрана точка <i>K</i> так, что  ∠<i>KDB</i> = ∠<i>BDA</i>.

Найдите отношение  <i>BK</i> : <i>KC</i>.

а) Внутри окружности находится некоторая точка <i>A</i>. Через <i>A</i> провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.

Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых. б) Внутри окружности находится правильный 2<i>n</i>-угольник  (<i>n</i> > 2),  его центр <i>A</i> не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из <i>A</i> в вершины 2<i>n</i>-угольника, высекают 2<i>n</i> точек на окружности. 2<i>n</i>-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2<i>n</i> новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2<i>n</i> точек....

Окружность касается сторон <i>AB, BC, CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> в точках <i>K, L, M</i> соответственно.

Докажите, что прямая <i>KL</i> делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины <i>C</i> на <i>AB</i>.

Верно ли, что в вершинах любого треугольника можно расставить положительные числа так, чтобы сумма чисел в концах каждой стороны треугольника равнялась длине этой стороны?

На клетчатом листе бумаги было закрашено несколько клеток так, что получившаяся фигура не имела осей симметрии. Ваня закрасил ещё одну клетку. Могло ли у получившейся фигуры оказаться четыре оси симметрии?

Длина прямоугольного участка равна 4 метра, а ширина – 1 метр.

Можно ли посадить на нём три дерева так, чтобы расстояние между любыми двумя деревьями было не меньше чем 2,5 метра?

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектриса <i>AD</i> и высота <i>BE</i>. Докажите, что  ∠<i>CED</i> > 45°.

Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Прямая, пересекающая отрезок <i>PQ</i>, последовательно пересекает эти окружности в точках <i>A, B, C</i> и <i>D</i>.

Докажите, что  ∠<i>APB</i> = ∠<i>CQD</i>.

Существует ли трапеция, в которой каждая диагональ разбивает её на два равнобедренных треугольника?

Внутри угла <i>AOB</i>, равного 120°, проведены лучи <i>OC</i> и <i>OD</i> так, что каждый из них является биссектрисой какого-то из углов, получившихся на чертеже. Найдите величину угла <i>AOC</i>, указав все возможные варианты.

Покажите, как разрезать фигуру (см. рисунок) на четыре равные части по линиям сетки. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116790/problem_116790_img_2.gif"></div>

Требуется разрезать по клеточкам изображенную на рисунке фигуру на несколько равных частей. Сколько частей может получиться? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116787/problem_116787_img_2.gif"></div>

Квадратный лист размером 6×6 клеток сложили и вырезали из него часть так, как показано на рисунке. Затем этот лист развернули. Нарисуйте развёрнутый лист размером 6×6 клеток и покажите на рисунке сделанные вырезы.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116780/problem_116780_img_2.gif"></div>

На плоскости даны два равных многоугольника <i>F</i> и <i>F'</i>. Известно, что все вершины многоугольника <i>F</i> принадлежат <i>F'</i> (могут лежать внутри него или на границе). Верно ли, что все вершины этих многоугольников совпадают?