Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
В прямоугольном треугольнике – центр вписанной окружности, – середина гипотенузы . Касательная к описанной окружности треугольника в точке пересекает прямую, проходящую через и параллельную , в точке . Точка – ортоцентр треугольника . Докажите, что точка пересечения прямых и лежит на вписанной окружности треугольника .
Окружность , вписанная в треугольник , касается сторон , и в точках , и соответственно. Перпендикуляр из на пересекает прямую в точке , а перпендикуляр из на пересекает в точке . Отрезок пересекает во второй раз в точке . Докажите, что описанная окружность треугольника касается .
Окружность проходит через вершину параллелограмма и касается лучей , . Окружность касается лучей , и касается внешним образом в точке . Докажите, что лежит на диагонали .
Пусть – середина гипотенузы прямоугольного треугольника . Окружность, проходящая через и , пересекает прямые и в точках и соответственно. Пусть – окружности с центрами , и радиусами , соответственно. Докажите, что , и описанная окружность треугольника проходят через одну точку.
В прямоугольном треугольнике ABC точка D – середина высоты, опущенной на гипотенузу AB. Прямые, симметричные AB относительно AD и BD, пересекаются в точке F. Найдите отношение площадей треугольников ABF и ABC.
Точка D лежит на основании BC равнобедренного треугольника ABC, а точки M и K – на его боковых сторонах AB и AC соответственно, причём AMDK – параллелограмм. Прямые MK и BC пересекаются в точке L. Перпендикуляр к BC, восставленный из точки D, пересекает прямые AB и AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что окружность с центром L, проходящая через D, касается описанной окружности треугольника AXY.
Ортоцентр H треугольника ABC лежит на вписанной в треугольник окружности. Докажите, что три окружности с центрами A, B, C, проходящие через H, имеют общую касательную.