Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» - сложность 3-5 с решениями

В выпуклом пятиугольнике <i>P</i> провели все диагонали, в результате чего он оказался разбитым на десять треугольников и один пятиугольник <i>P'</i>. Из суммы площадей треугольников, прилегающих к сторонам <i>P</i>, вычли площадь <i>P'</i>; получилось число <i>N</i>. Совершив те же операции с пятиугольником <i>P'</i>, получили число <i>N'</i>. Докажите, что  <i>N > N'</i>.

Внутри окружности с центром <i>O</i> отмечены точки <i>A</i> и <i>B</i> так, что  <i>OA = OB</i>.

Постройте на окружности точку <i>M</i>, для которой сумма расстояний до точек <i>A</i> и <i>B</i> наименьшая среди всех возможных.

Дан описанный четырёхугольник <i>ABCD, P, Q</i> и <i>R</i> – основания перпендикуляров, опущенных из вершины <i>D</i> на прямые <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что биссектрисы углов <i>ABC, ADC</i> и диагональ <i>AC</i> пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  <i>|PQ| = |QR|</i>.

Диагональ правильного 2006-угольника <i>P</i> называется <i>хорошей</i>, если её концы делят границу <i>P</i> на две части, каждая из которых содержит нечётное число сторон. Стороны <i>P</i> также называются хорошими. Пусть <i>P</i> разбивается на треугольники 2003 диагоналями, никакие две из которых не имеют общих точек внутри <i>P</i>. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет две хорошие стороны, может иметь такое разбиение?

Точка<i>I</i>– центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Внутри треугольника выбрана точка<i>P</i>такая, что <center> <font face="Symbol">Ð</font><i>PBA</i> + <font face="Symbol">Ð</font><i>PCA</i> = <font face="Symbol">Ð</font><i>PBC</i> + <font face="Symbol">Ð</font><i>PCB.</i></center> Докажите, что<i>AP</i>≥<i>AI</i>, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда<i>P</i>совпадает с<i>I</i>.

Каждой стороне<i>b</i>выпуклого многоугольника<i>P</i>поставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся в<i>P</i>, одна из сторон которых совпадает с<i>b</i>. Докажите, что сумма площадей, соответствующих всем сторонам<i>P</i>, не меньше удвоенной площади многоугольника<i>P</i>.

Рассмотрим 5 точек<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>,<i>E</i>так что<i>A</i><i>B</i><i>C</i><i>D</i>- параллелограмм,<i>B</i><i>C</i><i>E</i><i>D</i>лежат на одной окружности.<i>A</i>∈<i>l</i>, прямая<i>l</i>пересекает внутренность [<i>D</i><i>C</i>] в<i>F</i>и прямую<i>B</i><i>C</i>в<i>G</i>. Пусть<i>E</i><i>F</i>=<i>E</i><i>G</i>=<i>E</i><i>C</i>. Доказать, что<i>l</i>- биссектриса угла<i>D</i><i>A</i><i>B</i>...

Даны числа<i>а</i>₁, ...,<i>а_n</i>. Для 1 ≤<i>i</i>≤<i>n</i>положим

<center>

<i>d_i</i> = MAX { <i>a_j</i> | 1 ≤ <i>j</i> ≤ <i>i</i> } - MIN { <i>a_j</i> | <i>i</i> ≤ <i>j</i> ≤ <i>n</i> }

<i>d</i> = MAX { <i>dⁱ</i> | 1 ≤ <i>i</i> ≤ <i>n</i> } </center> а) Доказать, что для любых<i>x</i>₁≤<i>x</i>₂≤ ... ≤<i>x</i>_nвыполняется неравенство

<center&g...

Даны два правильных тетраэдра с ребрами длины<i> <img src="/storage/problem-media/109940/problem_109940_img_2.gif"> </i>, переводящихся один в другой при центральной симметрии. Пусть<i> ϕ </i>– множество середин отрезков, концы которых принадлежат разным тетраэдрам. Найдите объем фигуры<i> ϕ </i>.

Все вершины треугольника<i> ABC </i>лежат внутри квадрата<i> K </i>. Докажите, что если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан треугольника<i> ABC </i>, то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри<i> K </i>.

Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника <i>m×n</i> числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.

На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки – точки пересечения построенных линий. Пусть Ц(<i>n</i>) – наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии <i>n</i> (<i>n </i> – натуральное). ЛЦ(<i>n</i>) – то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность  <img align="middle" src="/storage/problem-media/109598/problem_109598_img_2.gif">  неограничена.

Окружность <i>S</i>₁, проходящая через вершины <i>A</i> и <i>B</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>D</i>. Окружность <i>S</i>₂, проходящая через вершины <i>B</i> и <i>C</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>E</i> и окружность <i>S</i>₁ вторично в точке <i>F</i>. Оказалось, что точки <i>A, E, D, C</i> лежат на окружности <i>S</i>₃ с центром <i>O</i>. Докажите, что угол <i>BFO</i> – прямой.

Пусть $l_a$, $l_b$ и $l_c$ – длины биссектрис углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$, а $m_a$, $m_b$ и $m_c$ – длины соответствующих медиан. Докажите, что $$ \frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} +\frac{l_c}{m_c} > 1.$$

а) Известно, что область определения функции  <i>f</i>(<i>x</i>)  – отрезок  [–1, 1]  и  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = – <i>x</i>  при всех <i>x</i>, а её график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график такой функции <i>f</i>(<i>x</i>). б) Можно ли это сделать, если область определения функции – интервал  (–1, 1)?  Вся числовая ось?

Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993? (Если квадратик пересекается с диагональю по одной точке, это тоже считается пересечением.)

Существует ли выпуклое тело, отличное от шара, ортогональные проекции которого на некоторые три попарно перпендикулярные плоскости являются кругами?

Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины <i>A</i> с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину <i>A</i>.

Докажите, что в пространстве существует такое расположение 2001 выпуклого многогранника, что никакие три из многогранников не имеют общих точек, а каждые два касаются друг друга (то есть имеют хотя бы одну граничную точку, но не имеют общих внутренних точек).

Можно ли расположить бесконечное число равных выпуклых многогранников в слое, ограниченном двумя параллельными плоскостями, так чтобы ни один многогранник нельзя было вынуть из слоя, не сдвигая остальных?

На лугу, имеющем форму квадрата, имеется круглая лунка. По лугу прыгает кузнечик. Перед каждым прыжком он выбирает вершину и прыгает по направлению к ней. Длина прыжка равна половине расстояния до этой вершины.

Сможет ли кузнечик попасть в лунку?

Докажите, что у выпуклого 10<i>n</i>-гранника найдётся <i>n</i> граней с одинаковым числом сторон.

а) На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму правильного шестиугольника, причём у всех салфеток одна сторона параллельна одной и той же прямой. Всегда ли можно вбить в стол несколько гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём каждая – только одним гвоздём?

б) Тот же вопрос про правильные пятиугольники.

Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?

Кузнечик вначале сидит в точке <i>M</i> плоскости <i>Oxy</i> вне квадрата  0 ≤ <i>x</i> ≤ 1,  0 ≤ <i>y</i> ≤ 1  (координаты <i>M</i> – нецелые, расстояние от <i>M</i> до центра квадрата равно <i>d</i>). Кузнечик прыгает в точку, симметричную <i>M</i> относительно самой правой (с точки зрения кузнечика) вершины квадрата. Докажите, что за несколько таких прыжков кузнечик не сможет удалиться от центра квадрата более чем на 10<i>d</i>.