Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» - сложность 2-3 с решениями

В выпуклом пятиугольнике <i>P</i> провели все диагонали, в результате чего он оказался разбитым на десять треугольников и один пятиугольник <i>P'</i>. Из суммы площадей треугольников, прилегающих к сторонам <i>P</i>, вычли площадь <i>P'</i>; получилось число <i>N</i>. Совершив те же операции с пятиугольником <i>P'</i>, получили число <i>N'</i>. Докажите, что  <i>N > N'</i>.

Внутри окружности с центром <i>O</i> отмечены точки <i>A</i> и <i>B</i> так, что  <i>OA = OB</i>.

Постройте на окружности точку <i>M</i>, для которой сумма расстояний до точек <i>A</i> и <i>B</i> наименьшая среди всех возможных.

Дан описанный четырёхугольник <i>ABCD, P, Q</i> и <i>R</i> – основания перпендикуляров, опущенных из вершины <i>D</i> на прямые <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что биссектрисы углов <i>ABC, ADC</i> и диагональ <i>AC</i> пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  <i>|PQ| = |QR|</i>.

Точка<i>I</i>– центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Внутри треугольника выбрана точка<i>P</i>такая, что <center> <font face="Symbol">Ð</font><i>PBA</i> + <font face="Symbol">Ð</font><i>PCA</i> = <font face="Symbol">Ð</font><i>PBC</i> + <font face="Symbol">Ð</font><i>PCB.</i></center> Докажите, что<i>AP</i>≥<i>AI</i>, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда<i>P</i>совпадает с<i>I</i>.

Все вершины треугольника<i> ABC </i>лежат внутри квадрата<i> K </i>. Докажите, что если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан треугольника<i> ABC </i>, то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри<i> K </i>.

Окружность <i>S</i>₁, проходящая через вершины <i>A</i> и <i>B</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>D</i>. Окружность <i>S</i>₂, проходящая через вершины <i>B</i> и <i>C</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>E</i> и окружность <i>S</i>₁ вторично в точке <i>F</i>. Оказалось, что точки <i>A, E, D, C</i> лежат на окружности <i>S</i>₃ с центром <i>O</i>. Докажите, что угол <i>BFO</i> – прямой.

а) Известно, что область определения функции  <i>f</i>(<i>x</i>)  – отрезок  [–1, 1]  и  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = – <i>x</i>  при всех <i>x</i>, а её график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график такой функции <i>f</i>(<i>x</i>). б) Можно ли это сделать, если область определения функции – интервал  (–1, 1)?  Вся числовая ось?

Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993? (Если квадратик пересекается с диагональю по одной точке, это тоже считается пересечением.)

Существует ли выпуклое тело, отличное от шара, ортогональные проекции которого на некоторые три попарно перпендикулярные плоскости являются кругами?

Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины <i>A</i> с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину <i>A</i>.

На квадратном торте расположены треугольные шоколадки, которые не соприкасаются между собой. Всегда ли можно разрезать торт на выпуклые многоугольники так, чтобы каждый многоугольник содержал ровно одну шоколадку? (Торт считайте плоским квадратом.)

Докажите, что у выпуклого 10<i>n</i>-гранника найдётся <i>n</i> граней с одинаковым числом сторон.

Куб со стороной 20 разбит на 8000 единичных кубиков, и в каждом кубике записано число. Известно, что в каждом столбике из 20 кубиков, параллельном ребру куба, сумма чисел равна 1 (рассматриваются столбики всех трёх направлений). В некотором кубике записано число 10. Через этот кубик проходит три <i>слоя</i> 1×20×20, параллельных граням куба. Найдите сумму всех чисел вне этих слоёв.

Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?

Можно ли бумажный круг с помощью ножниц перекроить в квадрат той же площади? (Разрешается сделать конечное число разрезов по прямым линиям и дугам окружностей.)

Кузнечик вначале сидит в точке <i>M</i> плоскости <i>Oxy</i> вне квадрата  0 ≤ <i>x</i> ≤ 1,  0 ≤ <i>y</i> ≤ 1  (координаты <i>M</i> – нецелые, расстояние от <i>M</i> до центра квадрата равно <i>d</i>). Кузнечик прыгает в точку, симметричную <i>M</i> относительно самой правой (с точки зрения кузнечика) вершины квадрата. Докажите, что за несколько таких прыжков кузнечик не сможет удалиться от центра квадрата более чем на 10<i>d</i>.

Можно ли разбить все пространство на правильные тетраэдры и октаэдры?

На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка <i>P</i>. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит <i>P</i> (если <i>P</i> лежит на прямой, то он говорит, что <i>P</i> лежит на прямой).

Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка <i>P</i> внутри квадрата?

Существует ли такой невыпуклый многогранник, что из некоторой точки <i>М</i>, лежащей вне него, не видна ни одна из его вершин?

(Многогранник сделан из непрозрачного материала, так что сквозь него ничего не видно.)  

Может ли случиться, что шесть попарно непересекающихся параллелепипедов расположены в пространстве так, что из некоторой им не принадлежащей точки пространства не видно ни одной из их вершин? (Параллелепипеды непрозрачны.)  

Выпуклый 1993-угольник разрезан на выпуклые семиугольники.

Докажите, что найдутся четыре соседние вершины 1993-угольника, принадлежащие одному семиугольнику.

(Вершина семиугольника не может лежать внутри стороны 1993-угольника.)

На отрезке  [<i>a, b</i>]  отмечено несколько синих и красных точек. Две точки одного цвета, между которыми нет отмеченных точек, разрешается стереть. Разрешается также отметить две точки одного цвета, красные или синие, так, чтобы между ними не было других отмеченных точек. Первоначально было отмечено две точки: <i>a</i> – синяя и <i>b</i> – красная. Можно ли сделать несколько разрешенных пребразований так, чтобы в результате было опять две отмеченные точки: <i>a</i> – красная и <i>b</i> – синяя?

На сфере отмечено пять точек, никакие три из которых не лежат на большой окружности (большая окружность – это окружность, по которой пересекаются сфера и плоскость, проходящая через её центр). Две большие окружности, не проходящие через отмеченные точки, называются <i>эквивалентными</i>, если одну из них с помощью непрерывнвого перемещения по сфере можно перевести в другую так, что в процессе перемещения окружность не проходит через отмеченные точки.

  а) Сколько можно нарисовать окружностей, не проходящих через отмеченные точки и не эквивалентных друг другу?

  б) Та же задача для <i>n</i> отмеченных точек.

Грани икосаэдра окрасили в пять цветов (среди которых есть красный и синий) так, что две грани, окрашенные в один цвет, не имеют общих точек, даже вершин. Докажите, что для любой точки внутри икосаэдра сумма расстояний от нее до красных граней равна сумме расстояний до синих граней.

От правильного октаэдра со стороной 1 отрезали шесть углов – пирамидок с квадратным основанием и ребром &frac13;. Получился многогранник, грани которого – квадраты и правильные шестиугольники. Можно ли копиями такого многогранника замостить пространство?