Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 8-9 класса

В саду растут яблони и груши — всего 7 деревьев (деревья обоих видов присутствуют). Ближе всех к каждому дереву растет дерево того же вида и дальше всех от каждого дерева растет дерево того же вида. Приведите пример того, как могут располагаться деревья в саду. Комментарий. Имелось в виду, что если ближайших к данному дереву (или самых дальних от данного дерева) несколько, то условие должно выполнятся для<b>каждого</b>из них.

Куб с ребром2<i>n+</i>1разрезают на кубики с ребром 1 и бруски размера2<i>x </i>2<i>x </i>1. Какое наименьшее количество единичных кубиков может при этом получиться?

В треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AC</i> и <i>BC</i> взяты такие точки <i>X</i> и <i>Y</i>, что  ∠<i>ABX</i> = ∠<i>YAC</i>,  ∠<i>AYB</i> = ∠<i>BXC</i>,  <i>XC = YB</i>.  Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.

У Вани есть клетчатая бумага двух видов: белая и чёрная. Он вырезает кусок из любой бумаги и наклеивает на серую клетчатую доску $45\times 45$, делая так много раз. Какое минимальное число кусков нужно наклеить, чтобы «раскрасить» клетки доски в шахматном порядке? (Каждый кусок – набор клеток, в котором от любой клетки до любой другой можно пройти, переходя из клетки в соседнюю через их общую сторону. Можно наклеивать куски один поверх другого. Все клетки имеют размер $1\times 1$.)

У девяти фермеров есть клетчатое поле 9×9, огороженное по периметру забором и сплошь заросшее ягодами (в каждой точке поля, кроме точек забора, растёт ягода). Фермеры поделили поле между собой по линиям сетки на 9 участков равной площади (каждый участок – многоугольник), но границы отмечать не стали. Каждый фермер следит только за ягодами внутри (не на границе) своего участка, а пропажу замечает, только если у него пропали хотя бы две ягоды. Всё это известно вороне, но где проходят границы между участками, она не знает. Может ли ворона утащить с поля 8 ягод так, чтобы пропажу гарантированно ни один фермер не заметил?

У восьми фермеров есть клетчатое поле 8×8, огороженное по периметру забором и сплошь заросшее ягодами (в каждой точке поля, кроме точек забора, растёт ягода). Фермеры поделили поле между собой по линиям сетки на 8 участков равной площади (каждый участок – многоугольник), но границы отмечать не стали. Каждый фермер следит только за ягодами внутри (не на границе) своего участка, а пропажу замечает, только если у него пропали хотя бы две ягоды. Всё это известно вороне, но где проходят границы между участками, она не знает. Может ли ворона утащить с поля 9 ягод так, чтобы пропажу гарантированно ни один фермер не заметил?

Вершины $M$, $N$, $K$ прямоугольника $KLMN$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $CA$ соответственно правильного треугольника $ABC$ так, что $AM=2$, $KC=1$, а вершина $L$ лежит вне треугольника. Найдите угол $KMN$.

Из прямоугольника 3×6 вырезали одну клетку (см. рис.). «Пришейте» эту клетку в другом месте так, чтобы получилась фигура, которую можно разрезать на две одинаковых.<img src="/storage/problem-media/67279/problem_67279_img_2.png">

Фигуру снизу можно разделить на трёх «дикобразов» (возможно, повёрнутых или перевёрнутых), изображённых на рисунке сверху. Отметьте дольки, в которых окажутся глаза этих дикобразов.<img width="200" src="/storage/problem-media/67272/problem_67272_img_2.png">

Барон Мюнхгаузен утверждает, что нарисовал многоугольник и точку внутри него так, что любая прямая, проходящая через эту точку, делит этот многоугольник на три многоугольника. Может ли барон быть прав?

Лёша нарисовал геометрическую картинку, обведя четыре раза свой пластмассовый прямоугольный треугольник, прикладывая короткий катет к гипотенузе и совмещая вершину острого угла с вершиной прямого. Оказалось, что "замыкающий" пятый треугольник – равнобедренный (см. рис., равны именно отмеченные стороны). Найдите острые углы Лёшиного треугольника? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/66280/problem_66280_img_2.png"></div>

Разрежьте фигуру ниже на четыре части одинакового <i>периметра</i> так, чтобы среди этих частей не было равных. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/66277/problem_66277_img_2.gif"></div>

Таня вырезала из бумаги выпуклый многоугольник и несколько раз его согнула так, что получился двухслойный четырёхугольник.

Мог ли вырезанный многоугольник быть семиугольником?

Докажите, что в любом описанном около окружности многоугольнике найдутся три стороны, из которых можно составить треугольник.

Таня вырезала из клетчатой бумаги треугольник, изображённый на рисунке. Через некоторое время линии сетки выцвели. Сможет ли Таня их восстановить, не пользуясь никакими инструментами, а только перегибая треугольник? (Длины сторон треугольника Таня помнит.) <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64799/problem_64799_img_2.png"></div>