Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» - сложность 1-5 с решениями
Внутри треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>O</i>, что ∠<i>ABO</i> = ∠<i>CAO</i>, ∠<i>BAO</i> = ∠<i>BCO</i>, ∠<i>BOC</i> = 90°. Найдите отношение <i>AC</i> : <i>OC</i>.
Функция <i>f</i> каждому вектору <i><b>v</b></i> (с общим началом в точке <i>O</i>) пространства ставит в соответствие число <i>f</i>(<i><b>v</b></i>), причём для любых векторов <i><b>u</b>, <b>v</b></i> и любых чисел α, β значение <i>f</i>(α<i><b>u</b></i> + β<i><b>v</b></i>) не превосходит хотя бы одного из чисел <i>f</i>(<i><b>u</b></i>) или <i>f</i>(<i><b>v</b></i>). Какое наибольшее количество значений может принимать такая функция?
Моток ниток проткнули насквозь 72 цилиндрическими спицами радиуса 1 каждая, в результате чего он приобрел форму цилиндра радиуса 6. Могла ли высота этого цилиндра оказаться также равной 6?
В основании <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> пирамиды <i>SA</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> лежит точка <i>O</i>, причём <i>SA</i><sub>1</sub> = <i>SA</i><sub>2</sub> = ... = <i>SA<sub>n</sub></i> и ∠<i>SA</i><sub>1</sub><i>O</i> = ∠<i>SA</i><sub>2</sub><i>O</i> = ... = ∠<i>SA<sub>n</sub>O</i>.
При каком наименьшем значении <i>n</i> отсюда следует, что <i>SO</i> – высота пирамиды?
Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в виде суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми дискриминантами.
Докажите, что если в выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i> <i>ABC</i> = ∠<i>ADE</i> и ∠<i>AEC</i> = ∠<i>ADB</i>, то ∠<i>BAC</i> = ∠<i>DAE</i>.