Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» - сложность 3-5 с решениями

Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.

Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116727/problem_116727_img_2.gif"> .

100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.

Квадрат <i>ABCD</i> разрезан на одинаковые прямоугольники с целыми длинами сторон. Фигура <i>F</i> является объединением всех прямоугольников, имеющих общие точки с диагональю <i>AC</i>. Докажите, что <i>AC</i> делит площадь фигуры <i>F</i> пополам.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/111915/problem_111915_img_2.gif"></div>Угол <i>B</i> при вершине равнобедренного треугольника <i>ABC</i> равен 120°. Из вершины <i>B</i> выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания <i>AC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, попали на боковые стороны в точки <i>M</i> и <i>N</i> (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника <i>PBQ</i> равна сумме площадей треугольников <i>AMP</i> и <i>CNQ</i>.

Точки <i>P</i>₁, <i>P</i>₂, ..., <i>P</i>_<i>n</i>–1 делят сторону <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> на <i>n</i> равных частей:  <i>BP</i>₁ = <i>P</i>₁<i>P</i>₂ = ... = <i>P</i>_<i>n</i>–l<i>C</i>.  Точка <i>M</i> выбрана на стороне <i>AC</i> так, что  <i>AM = BP</i>₁. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/108681/problem_108681_img_2.gif"></div>Докажите,...

Из точки <i>O</i>, лежащей внутри выпуклого <i>n</i>-угольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i>, проведены отрезки ко всем вершинам: <i>OA</i>₁, <i>OA</i>₂, ..., <i> OA_n </i>. Оказалось, что все углы между этими отрезками и прилегающими к ним сторонами <i>n</i>-угольника – острые, причём  ∠<i>OA</i>₁<i>A_n</i> ≤ ∠<i>OA</i>₁<i>A</i>₂,  ∠<i>OA</i>₂<i>A</i><sub>1&...

Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками<i> AB </i>и<i> AD </i>и дугой<i> BD </i>некоторой окружности (рис.1). Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам: а) периметр этой фигуры; б) её площадь.

В прямоугольном треугольнике<i> ABC </i>точка<i> O </i>– середина гипотенузы<i> AC </i>. На отрезке<i> AB </i>взята точка<i> M </i>, а на отрезке<i> BC </i>– точка<i> N </i>, причём угол<i> MON </i>– прямой. Докажите, что<i> AM</i>2<i>+CN</i>2<i> = MN</i>2.

Прямая отсекает от правильного 10-угольника <i>ABCDEFGHIJ</i> со стороной 1 треугольник <i>PAQ</i>, в котором  <i>PA + AQ</i> = 1.

Найдите сумму углов, под которыми виден отрезок <i>PQ</i> из вершин <i>B, C, D, E, F, G, H, I, J</i>.

Квадрат <i>ABCD</i> и окружность $\Omega$ пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника: <i>AEF</i>, <i>BGH</i>, <i>CIJ</i>, <i>DKL</i> (<i>EF</i>, <i>GH</i>, <i>IJ</i>, <i>KL</i> — дуги окружности). Докажите, что

а) сумма длин дуг <i>EF</i> и <i>IJ</i> равна сумме длин дуг <i>GH</i> и <i>KL</i>;

б) сумма периметров криволинейных треугольников <i>AEF</i> и <i>CIJ</i> равна сумме периметров криволинейных треугольников <i>BGH</i> и <i>DKL</i>.

Можно ли разбить правильный тетраэдр с ребром 1 на правильные тетраэдры и октаэдры, длины ребер каждого из которых меньше 1/100?

В выпуклом шестиугольнике <i>AC</i>₁<i>BA</i>₁<i>CB</i>₁   <i>AB</i>₁ = <i>AC</i>₁,  <i>BC</i>₁ = <i>BA</i>₁,  <i>CA</i>₁ = <i>CB</i>₁  и  ∠<i>A</i> + ∠<i>B</i> + ∠<i>C</i> = ∠<i>A</i>₁ + ∠<i>B</i>₁ + ∠<i>C</i>₁.

Докажите, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна половине площади шестиугольника.

Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).

  а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части?

  б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем &frac13; площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)

<i>n</i> красных и <i>n</i> синих точек, строго чередуясь, разделили окружность на 2<i>n</i> дуг так, что каждые две смежные из них имеют различную длину. При этом длины каждой из этих дуг равны одному из трёх чисел: <i>a, b</i> или <i>c</i>. Докажите, что <i>n</i>-угольник с красными вершинами и <i>n</i>-угольник с синими вершинами имеют равные периметры и равные площади.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>  (<i>AB = AC</i>)  угол <i>A</i> равен α. На стороне <i>AB</i> взята точка <i>D</i> так, что  <i>AD = ^AB</i>/_<i>n</i>.  Найдите сумму  <i>n</i> – 1  углов, под которыми виден отрезок <i>AD</i> из точек, делящих сторону <i>BC</i> на <i>n</i> равных частей:

  а) при  <i>n</i> = 3;

  б) при произвольном <i>n</i>.

В равностороннем треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> взята точка <i>D</i> так, что  <i>AD = ^AB</i>/_<i>n</i>.

Докажите,что сумма  <i>n</i> – 1  углов, под которыми виден отрезок <i>AD</i> из точек, делящих сторону <i>BC</i> на <i>n</i> равных частей, равна 30°:

  а) при  <i>n</i> = 3;

  б) при произвольном <i>n</i>.

а) Существуют ли два равных семиугольника, все вершины которых совпадают, но никакие стороны не совпадают?

б) А три таких семиугольника?

Может ли случиться, что шесть попарно непересекающихся параллелепипедов расположены в пространстве так, что из некоторой им не принадлежащей точки пространства не видно ни одной из их вершин? (Параллелепипеды непрозрачны.)  

Рассматривается произвольный многоугольник (возможно, невыпуклый).

  а) Всегда ли найдётся хорда этого многоугольника, которая делит его площадь пополам?

  б) Докажите, что найдётся такая хорда, что площадь каждой из частей, на которые она разбивает многоугольник, не меньше чем &frac13; площади всего многоугольника.   в) Можно ли в пункте б) заменить число &frac13; на большее? (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур).

Из центра окружности выходят <i>N</i> векторов, концы которых делят её на <i>N</i> равных дуг. Некоторые векторы синие, остальные – красные. Подсчитаем сумму углов "красный вектор – синий вектор" (каждый угол вычисляется от красного вектора к синему против часовой стрелки) и разделим её на общее число всех таких углов. Докажите, что полученная величина "среднего угла" равна 180°.

  Радиус <i>OM</i> круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол ^360°/_<i>N</i>  (<i>N</i> – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение <i>OM</i>₀, через секунду – <i>OM</i>₁, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – <i>OM</i>₂, ещё через три секунды после этого – <i>OM</i>₃, и т. д., ещё через  <i>N</i> – 1  секунду после <i>ОМ</i>_<i>N</i>–2  – <i>OM</i>_<i>N</i>–1.

  При каких <i>N...

Правильный 4<i>k</i>-угольник разрезан на параллелограммы. Доказать, что среди них не менее <i>k</i> прямоугольников. Найти их общую площадь, если длина стороны 4<i>k</i>-угольника равна <i>a</i>.

Сфера касается всех рёбер тетраэдра. Соединим точки касания на парах несмежных рёбер.

Докажите, что три полученные прямые пересекаются в одной точке.

Три плоскости разрезают параллелепипед на 8 шестигранников, все грани которых – четырёхугольники (каждая плоскость пересекает свои две пары противоположных граней параллелепипеда и не пересекает две оставшиеся грани). Известно, что вокруг одного из этих шестигранников можно описать сферу. Докажите, что и вокруг каждого из них можно описать сферу.

В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i> углы <i>ABC</i> и <i>CDE</i> равны по <!-- MATH $90^{\circ}$ --> 90^<tt>o</tt>, стороны <i>BC</i>, <i>CD</i> и <i>AE</i> равны по 1 и сумма сторон <i>AB</i> и <i>DE</i> равна 1. Докажите, что площадь пятиугольника равна 1.