Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 3-10 класса - сложность 2 с решениями
Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причём хотя бы два из этих трёх рёбер равны.
Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.
На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>P</i>, что <i>AP</i> = 2<i>PB</i>, а на стороне <i>AC</i> – ее середина, точка <i>Q</i>. Известно, что <i>CP</i> = 2<i>PQ</i>.
Докажите, что треугольник <i>ABC</i> прямоугольный.
На наибольшей стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взяли такие точки <i>P</i> и <i>Q</i>, что <i>AQ = AC, BP = BC</i>.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>PQC</i> совпадает с центром вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники.
Докажите, что многогранник имеет две пары равных граней (одну пару равных граней и еще одну пару равных граней).
На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> ромба <i>ABCD</i> взяли точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что <i>BP = CQ</i>.
Докажите, что точка пересечения медиан треугольника <i>APQ</i> лежит на диагонали <i>BD</i> ромба.
В пространстве расположена замкнутая шестизвенная ломаная <i>ABCDEF</i>, противоположные звенья которой параллельны (<i>AB || DE, BC || EF</i> и
<i>CD || FA</i>). При этом <i>AB</i> не равно <i>DE</i>. Докажите, что все звенья ломаной лежат в одной плоскости.
Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны?
Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i>. Сторона <i>BC</i> разделена на три равные части точками <i>K</i> и <i>L</i>, а точка <i>M</i> делит сторону <i>AC</i> в отношении 1 : 2, считая от вершины <i>A</i>. Докажите, что сумма углов <i>AKM</i> и <i>ALM</i> равна 30°.
Квадрат <i>ABCD</i> и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника: <i>AEF, BGH, CIJ, DKL</i> (<i>EF, GH, IJ, KL</i> – дуги окружности). Докажите, что
а) сумма длин дуг <i>EF</i> и <i>IJ</i> равна сумме длин дуг <i>GH</i> и <i>KL</i>;
б) сумма периметров криволинейных треугольников <i>AEF</i> и <i>CIJ</i> равна сумме периметров криволинейных треугольников <i>BGH</i> и <i>DKL</i>.
В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника).
Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.
Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.
Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>D</i> и <i>K</i>, а на стороне <i>AC</i> – точки <i>E</i> и <i>M</i>, причём <i>DA + AE = KC + CM = AB</i>.
Докажите, что угол между прямыми <i>DM</i> и <i>KE</i> равен 60°.
Внутри острого угла <i>XOY</i> взяты точки <i>M</i> и <i>N</i>, причём ∠<i>XON</i> = ∠<i>YOM</i>. На луче <i>OX</i> отмечена точка <i>Q</i> так, что ∠<i>NQO</i> = ∠<i>MQX</i>, а на луче <i>OY</i> – точка <i>P</i> так, что ∠<i>NPO</i> = ∠<i>MPY</i>. Докажите, что длины ломаных <i>MPN</i> и <i>MQN</i> равны.
В треугольнике <i>ABC</i> точки <i>A', B', C'</i> лежат на сторонах <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Известно, что ∠<i>AC'B'</i> = ∠<i>B'A'C</i>, ∠<i>CB'A'</i> = ∠<i>A'C'B</i>, ∠<i>BA'C'</i> = ∠<i>C'B'A</i>. Докажите, что точки <i> A', B', C'</i> – середины сторон треугольника <i>ABC</i>.
Стороны <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> равны соответственно сторонам <i>A'B', B'C', C'D'</i> и <i>D'A'</i> четырёхугольника <i>A'B'C'D'</i>, причём известно, что <i>AB || CD</i> и <i>B'C' || D'A'</i>. Докажите, что оба четырёхугольника – параллелограммы.
Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону.
Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.
В пространстве даны восемь параллельных плоскостей таких, что расстояния между каждыми двумя соседними равны. На каждой из плоскостей выбирается по точке. Могут ли выбранные точки оказаться вершинами куба.
Прямая отсекает треугольник <i>AKN</i> от правильного шестиугольника <i>ABCDEF</i> так, что <i>AK + AN = AB</i>.
Найдите сумму углов, под которыми отрезок <i>KN</i> виден из вершин шестиугольника (∠<i>KAN</i> + ∠<i>KBN</i> + ∠<i>KCN</i> + ∠<i>KDN</i> + ∠<i>KEN</i> + ∠<i>KFN</i>).
Покажите как любой четырехугольник разрезать на три трапеции (параллелограмм тоже можно считать трапецией).
На поверхности правильного тетраэдра с ребром 1 отмечены девять точек.
Докажите, что среди этих точек найдутся две, расстояние между которыми (в пространстве) не превосходит 0,5.
Квадрат разрезали 18 прямыми, из которых девять параллельны одной стороне квадрата, а девять – другой, на 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно девять из них – квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных между собой.
Куб разрезали на 99 кубиков, из которых ровно у одного ребро имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных ребро равно 1).
Найдите объём исходного куба.
Квадрат разрезали на 25 квадратиков, из которых ровно у одного сторона имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных сторона равна 1).
Найдите площадь исходного квадрата.
Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри куба и равноудалённых от трёх скрещивающихся рёбер <i>a, b, c</i> этого куба.
Окружность пересекает каждую сторону ромба в двух точках и делит её на три отрезка. Обойдём контур ромба, начав с какой-нибудь вершины, по часовой стрелке, и покрасим три отрезка каждой стороны последовательно в красный, белый и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих.