Олимпиадные задачи по теме «Геометрия»
Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.
Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116727/problem_116727_img_2.gif"> .
Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причём хотя бы два из этих трёх рёбер равны.
Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.
100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.
На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>P</i>, что <i>AP</i> = 2<i>PB</i>, а на стороне <i>AC</i> – ее середина, точка <i>Q</i>. Известно, что <i>CP</i> = 2<i>PQ</i>.
Докажите, что треугольник <i>ABC</i> прямоугольный.
На наибольшей стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взяли такие точки <i>P</i> и <i>Q</i>, что <i>AQ = AC, BP = BC</i>.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>PQC</i> совпадает с центром вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники.
Докажите, что многогранник имеет две пары равных граней (одну пару равных граней и еще одну пару равных граней).
На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> ромба <i>ABCD</i> взяли точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что <i>BP = CQ</i>.
Докажите, что точка пересечения медиан треугольника <i>APQ</i> лежит на диагонали <i>BD</i> ромба.
В пространстве расположена замкнутая шестизвенная ломаная <i>ABCDEF</i>, противоположные звенья которой параллельны (<i>AB || DE, BC || EF</i> и
<i>CD || FA</i>). При этом <i>AB</i> не равно <i>DE</i>. Докажите, что все звенья ломаной лежат в одной плоскости.
Квадрат <i>ABCD</i> разрезан на одинаковые прямоугольники с целыми длинами сторон. Фигура <i>F</i> является объединением всех прямоугольников, имеющих общие точки с диагональю <i>AC</i>. Докажите, что <i>AC</i> делит площадь фигуры <i>F</i> пополам.
Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны?
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/111915/problem_111915_img_2.gif"></div>Угол <i>B</i> при вершине равнобедренного треугольника <i>ABC</i> равен 120°. Из вершины <i>B</i> выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания <i>AC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, попали на боковые стороны в точки <i>M</i> и <i>N</i> (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника <i>PBQ</i> равна сумме площадей треугольников <i>AMP</i> и <i>CNQ</i>.
Точки <i>P</i><sub>1</sub>, <i>P</i><sub>2</sub>, ..., <i>P</i><sub><i>n</i>–1</sub> делят сторону <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> на <i>n</i> равных частей: <i>BP</i><sub>1</sub> = <i>P</i><sub>1</sub><i>P</i><sub>2</sub> = ... = <i>P</i><sub><i>n</i>–l</sub><i>C</i>. Точка <i>M</i> выбрана на стороне <i>AC</i> так, что <i>AM = BP</i><sub>1</sub>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/108681/problem_108681_img_2.gif"></div>Докажите,...
Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i>. Сторона <i>BC</i> разделена на три равные части точками <i>K</i> и <i>L</i>, а точка <i>M</i> делит сторону <i>AC</i> в отношении 1 : 2, считая от вершины <i>A</i>. Докажите, что сумма углов <i>AKM</i> и <i>ALM</i> равна 30°.
Квадрат <i>ABCD</i> и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника: <i>AEF, BGH, CIJ, DKL</i> (<i>EF, GH, IJ, KL</i> – дуги окружности). Докажите, что
а) сумма длин дуг <i>EF</i> и <i>IJ</i> равна сумме длин дуг <i>GH</i> и <i>KL</i>;
б) сумма периметров криволинейных треугольников <i>AEF</i> и <i>CIJ</i> равна сумме периметров криволинейных треугольников <i>BGH</i> и <i>DKL</i>.
В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника).
Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.
Из точки <i>O</i>, лежащей внутри выпуклого <i>n</i>-угольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i>, проведены отрезки ко всем вершинам: <i>OA</i><sub>1</sub>, <i>OA</i><sub>2</sub>, ..., <i> OA<sub>n</sub> </i>. Оказалось, что все углы между этими отрезками и прилегающими к ним сторонами <i>n</i>-угольника – острые, причём ∠<i>OA</i><sub>1</sub><i>A<sub>n</sub></i> ≤ ∠<i>OA</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, ∠<i>OA</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>1&...
Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.
Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>D</i> и <i>K</i>, а на стороне <i>AC</i> – точки <i>E</i> и <i>M</i>, причём <i>DA + AE = KC + CM = AB</i>.
Докажите, что угол между прямыми <i>DM</i> и <i>KE</i> равен 60°.
Внутри острого угла <i>XOY</i> взяты точки <i>M</i> и <i>N</i>, причём ∠<i>XON</i> = ∠<i>YOM</i>. На луче <i>OX</i> отмечена точка <i>Q</i> так, что ∠<i>NQO</i> = ∠<i>MQX</i>, а на луче <i>OY</i> – точка <i>P</i> так, что ∠<i>NPO</i> = ∠<i>MPY</i>. Докажите, что длины ломаных <i>MPN</i> и <i>MQN</i> равны.
В треугольнике <i>ABC</i> точки <i>A', B', C'</i> лежат на сторонах <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Известно, что ∠<i>AC'B'</i> = ∠<i>B'A'C</i>, ∠<i>CB'A'</i> = ∠<i>A'C'B</i>, ∠<i>BA'C'</i> = ∠<i>C'B'A</i>. Докажите, что точки <i> A', B', C'</i> – середины сторон треугольника <i>ABC</i>.
Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками<i> AB </i>и<i> AD </i>и дугой<i> BD </i>некоторой окружности (рис.1). Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам: а) периметр этой фигуры; б) её площадь.
В прямоугольном треугольнике<i> ABC </i>точка<i> O </i>– середина гипотенузы<i> AC </i>. На отрезке<i> AB </i>взята точка<i> M </i>, а на отрезке<i> BC </i>– точка<i> N </i>, причём угол<i> MON </i>– прямой. Докажите, что<i> AM</i>2<i>+CN</i>2<i> = MN</i>2.
Прямая отсекает от правильного 10-угольника <i>ABCDEFGHIJ</i> со стороной 1 треугольник <i>PAQ</i>, в котором <i>PA + AQ</i> = 1.
Найдите сумму углов, под которыми виден отрезок <i>PQ</i> из вершин <i>B, C, D, E, F, G, H, I, J</i>.
Стороны <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> равны соответственно сторонам <i>A'B', B'C', C'D'</i> и <i>D'A'</i> четырёхугольника <i>A'B'C'D'</i>, причём известно, что <i>AB || CD</i> и <i>B'C' || D'A'</i>. Докажите, что оба четырёхугольника – параллелограммы.
Квадрат <i>ABCD</i> и окружность $\Omega$ пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника: <i>AEF</i>, <i>BGH</i>, <i>CIJ</i>, <i>DKL</i> (<i>EF</i>, <i>GH</i>, <i>IJ</i>, <i>KL</i> — дуги окружности). Докажите, что
а) сумма длин дуг <i>EF</i> и <i>IJ</i> равна сумме длин дуг <i>GH</i> и <i>KL</i>;
б) сумма периметров криволинейных треугольников <i>AEF</i> и <i>CIJ</i> равна сумме периметров криволинейных треугольников <i>BGH</i> и <i>DKL</i>.