Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» - сложность 2-5 с решениями
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> провели высоты <i>AD</i> и <i>CE</i>. Построили квадрат <i>ACPQ</i> и прямоугольники <i>CDMN</i> и <i>AEKL</i>, у которых <i>AL = AB</i> и
<i>CN = CB</i>. Докажите, что площадь квадрата <i>ACPQ</i> равна сумме площадей прямоугольников <i>AEKL</i> и <i>CDMN</i>.
По окружности в одном направлении на равных расстояниях курсируют <i>n</i> поездов. На этой дороге в вершинах правильного треугольника расположены станции <i>A, B</i> и <i>C</i> (обозначенные по направлению движения). Ира входит на станцию <i>A</i> и одновременно Лёша входит на станцию <i>B</i>, чтобы уехать на ближайших поездах. Известно, что если они входят на станции в тот момент, когда машинист Рома проезжает лес, то Ира сядет в поезд раньше Лёши, а в остальных случаях Лёша – раньше Иры или одновременно с ней. Какая часть дороги проходит по лесу?
Придумайте многогранник, у которого нет трех граней с одинаковым числом сторон.
Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.
Футбольный мяч сшит из 32 лоскутков: белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Каждый чёрный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый — с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько лоскутков белого цвета?
Четыре кузнечика сидели в вершинах квадрата. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если <i>A</i> прыгает через <i>B</i> в точку <i>A</i><sub>1</sub>, то векторы <img align="top" src="/storage/problem-media/98261/problem_98261_img_2.gif"> и <img align="top" src="/storage/problem-media/98261/problem_98261_img_3.gif"> равны). Докажите, что три кузнечика не могут оказаться
а) на одной прямой, параллельной стороне квадрата;
б) на одной произвольной прямой.
Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если <i>A</i> прыгает через <i>B</i> в точку <i>A</i><sub>1</sub>, то <i>AB = BA</i><sub>1</sub>). Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики.
Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя 2 минуты был ближе к первому фотографу, затем 3 минуты – ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг?