Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую A1C1 в точках A' и C'. Касательные к Ω, проведённые в точках A' и C', пересекаются в точке B'. Докажите, что прямая BB' проходит через центр окружности Ω.
Окружности ω1 и ω2 касаются внешним образом в точке P. Через центр ω1 проведена прямая l1, касающаяся ω2. Аналогично прямая l2 касается ω1 и проходит через центр ω2. Оказалось, что прямые l1 и l2 непараллельны. Докажите, что точка P лежит на биссектрисе одного из углов, образованных l1 и l2.
В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC точки C0 и B0 – середины сторон AB и AC соответственно, O – центр описанной окружности, H – точка пересечения высот. Прямые BH и OC0 пересекаются в точке P, а прямые CH и OB0 – в точке Q. Оказалось, что четырёхугольник OPHQ – ромб. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.
Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.
По каждой из двух пересекающихся прямых с постоянными скоростями, не меняя направления, ползёт по жуку. Известно, что проекции жуков на ось OX никогда не совпадают (ни в прошлом, ни в будущем). Докажите, что проекции жуков на ось OY обязательно совпадут или совпадали раньше.
Найти все равнобедренные треугольники, которые нельзя разрезать на три равнобедренных треугольника с одинаковыми боковыми сторонами.
Вневписанные окружности касаются сторон AC и BC треугольника ABC в точках K и L. Докажите, что прямая, соединяющая середины KL и AB, а) делит периметр треугольника ABC пополам; б) параллельна биссектрисе угла ACB.
В остроугольном треугольнике – ортоцентр; , , – точки касания вписанной окружности с , , соответственно; , , – середины , , соответственно; окружность с центром , проходящая через , повторно пересекает биссектрису угла в точке ; точки , определены аналогично. Докажите, что треугольники и подобны.
В треугольнике вписанная окружность касается сторон , , в точках , и соответственно, – произвольная точка этой окружности. Прямая вторично пересекает описанную окружность треугольника в точке . Аналогично строятся точки и . Докажите, что описанная около треугольника окружность касается .
Окружности и пересекаются в точках и . Через точку проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках и . Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой принимает наибольшее значение.
Дан треугольник . Прямая касается его вписанной окружности в точке , а вневписанной, касающейся стороны , – в точке . Аналогично определяются точки , , , , , , , , , . Рассмотрим длины 12 отрезков – высот треугольников , , , . а) Какое наибольшее число различных может быть среди них? б) Найдите все возможные количества различных длин.
В выпуклом четырехугольнике точки , , , – середины сторон , , , соответственно. Отрезки , , , , пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что – параллелограмм?
Оклейте куб в один слой пятью равновеликими выпуклыми пятиугольниками.
На клетчатой бумаге отметьте три узла так, чтобы в образованном ими треугольнике сумма двух меньших медиан равнялась полупериметру.
Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника а) не больше ¾ P, где P – периметр этого треугольника; б) не меньше ¾ p, где p – полупериметр этого треугольника.
В четырёхугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны. Докажите, что если биссектрисы углов DAC, DBC, ACB и ADB образовали ромб, то AB = CD.