Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 8 класса - сложность 2 с решениями
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub>. Описанная окружность Ω треугольника <i>ABC</i> пересекает прямую <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> в точках <i>A'</i> и <i>C'</i>. Касательные к Ω, проведённые в точках <i>A'</i> и <i>C'</i>, пересекаются в точке <i>B'</i>. Докажите, что прямая <i>BB'</i> проходит через центр окружности Ω.
Окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> касаются внешним образом в точке <i>P</i>. Через центр ω<sub>1</sub> проведена прямая <i>l</i><sub>1</sub>, касающаяся ω<sub>2</sub>. Аналогично прямая <i>l</i><sub>2</sub> касается ω<sub>1</sub> и проходит через центр ω<sub>2</sub>. Оказалось, что прямые <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub> непараллельны. Докажите, что точка <i>P</i> лежит на биссектрисе одного из углов, образованных <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>.
Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.
По каждой из двух пересекающихся прямых с постоянными скоростями, не меняя направления, ползёт по жуку. Известно, что проекции жуков на ось <i>OX</i> никогда не совпадают (ни в прошлом, ни в будущем). Докажите, что проекции жуков на ось <i>OY</i> обязательно совпадут или совпадали раньше.
Найти все равнобедренные треугольники, которые нельзя разрезать на три равнобедренных треугольника с одинаковыми боковыми сторонами.
В остроугольном треугольнике $ABC$ $H$ – ортоцентр; $A_1$, $B_1$, $C_1$ – точки касания вписанной окружности с $BC$, $CA$, $AB$ соответственно; $E_A$, $E_B$, $E_C$ – середины $AH$, $BH$, $CH$ соответственно; окружность с центром $E_A$, проходящая через $A$, повторно пересекает биссектрису угла $A$ в точке $A_2$; точки $B_2$, $C_2$ определены аналогично. Докажите, что треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ подобны.
В треугольнике $ABC$ вписанная окружность $\omega$ касается сторон $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно, $P$ – произвольная точка этой окружности. Прямая $AP$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $AB_1C_1$ в точке $A_2$. Аналогично строятся точки $B_2$ и $C_2$. Докажите, что описанная около треугольника $A_2B_2C_2$ окружность касается $\omega$.
Окружности $s_1$ и $s_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках $P_1$ и $P_2$. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой $P_1A\cdot AP_2$ принимает наибольшее значение.
Дан треугольник $ABC$. Прямая $AB$ касается его вписанной окружности в точке $C'$, а вневписанной, касающейся стороны $BC$, – в точке $C'_a$. Аналогично определяются точки $C'_b$, $C'_c$, $A'$, $A'_a$, $A'_b$, $A'_c$, $B'$, $B'_a$, $B'_b$, $B'_c$. Рассмотрим длины 12 отрезков – высот треугольников $A'B'C'$, $A'_aB'_aC'_a$, $A'_bB'_bC'_b$, $A'_cB'_cC'_c$. а) Какое наибольшее число различных может быть среди них?
б) Найдите все возможные количества различных длин.
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K$, $L$, $M$, $N$ – середины сторон $BC$, $CD$, $DA$, $AB$ соответственно. Отрезки $AK$, $BL$, $CM$, $DN$, пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что $ABCD$ – параллелограмм?
Оклейте куб в один слой пятью равновеликими выпуклыми пятиугольниками.
На клетчатой бумаге отметьте три узла так, чтобы в образованном ими треугольнике сумма двух меньших медиан равнялась полупериметру.
Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника
а) не больше ¾ <i>P</i>, где <i>P</i> – периметр этого треугольника;
б) не меньше ¾ <i>p</i>, где <i>p</i> – полупериметр этого треугольника.
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> стороны <i>AD</i> и <i>BC</i> параллельны.
Докажите, что если биссектрисы углов <i>DAC, DBC, ACB</i> и <i>ADB</i> образовали ромб, то <i>AB = CD</i>.