Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» - сложность 3 с решениями

На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

Вписанная окружность касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Точка <i>K</i>– середина дуги <i>AB</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> (не содержащей точки <i>C</i>). Оказалось, что прямая <i>XY</i> делит отрезок <i>AK</i> пополам. Чему может быть равен угол <i>BAC</i>?

Медианы<i> AA' </i>и<i> BB' </i>треугольника<i> ABC </i>пересекаются в точке<i> M </i>, причем<i> <img src="/storage/problem-media/110762/problem_110762_img_2.gif"> AMB=</i>120<i>^o </i>. Докажите, что углы<i> AB'M </i>и<i> BA'M </i>не могут быть оба острыми или оба тупыми.

На прямой имеется2<i>n+</i>1отрезок. Любой отрезок пересекается по крайней мере с<i> n </i>другими. Докажите, что существует отрезок, пересекающийся со всеми остальными.

Все клетки клетчатой плоскости окрашены в 5 цветов так, что в любой фигуре вида<center> <img src="/storage/problem-media/110013/problem_110013_img_2.gif"> </center>все цвета различны. Докажите, что и в любой фигуре вида<center> <img src="/storage/problem-media/110013/problem_110013_img_3.gif"> </center>все цвета различны.

Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число.

Докажите, что найдётся пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.

На сторонах <i>AB, BC, CA</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>P, Q, R</i> соответственно таким образом, что  <i>AP = CQ</i>  и четырёхугольник <i>RPBQ</i>– вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>C</i> пересекают прямые <i>RP</i> и <i>RQ</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что  <i>RX = RY</i>.

Петя раскрашивает 2006 точек, расположенных на окружности, в 17 цветов. Затем Коля проводит хорды с концами в отмеченных точках так, чтобы концы любой хорды были одноцветны и хорды не имели общих точек (в том числе и общих концов). При этом Коля хочет провести как можно больше хорд, а Петя старается ему помешать. Какое наибольшее количество хорд заведомо сможет провести Коля?

Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.

На дугах <i>AB</i> и <i>BC</i> окружности, описанной около треугольника <i>ABC</i>, выбраны соответственно точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что прямые <i>KL</i> и <i>AC</i> параллельны.

Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников <i>ABK</i> и <i>CBL</i> равноудалены от середины дуги <i>ABC</i>.

На сторонах <i>AP</i> и <i>PD</i> остроугольного треугольника <i>APD</i> выбраны соответственно точки <i>B</i> и <i>C</i>. Диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Точки <i>H</i>₁ и <i>H</i>₂ являются ортоцентрами треугольников <i>APD</i> и <i>BPC</i> соответственно. Докажите, что если прямая <i>H</i>₁<i>H</i>₂ проходит через точку <i>X</i> пересечения описанных окружностей треугольников <i>ABQ</i> и <i>CDQ</i>, то она проходит и через точку <i>Y</i> пересечения описанны...

В городе Цветочном<i>n</i>площадей и<i>m</i>улиц  (<i>m</i>≥<i>n</i>+ 1).  Каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. По существующей в городе традиции улица может называться либо Синей, либо Красной. Ежегодно в городе происходит переименование: выбирается площадь и переименовываются все выходящие из неё улицы. Докажите, что можно назвать улицы так, что переименованиями нельзя добиться одинаковых названий у всех улиц города.

Отрезки<i> AB </i>и<i> CD </i>длины 1 пересекаются в точке<i> O </i>, причем<i> <img src="/storage/problem-media/109522/problem_109522_img_2.gif"> AOC=</i>60<i>^o </i>. Докажите, что<i> AC+BD<img src="/storage/problem-media/109522/problem_109522_img_3.gif"></i>1.

Дан параллелограмм <i>ABCD</i> с углом <i>A</i>, равным 60°. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABD</i>. Прямая <i>AO</i> пересекает биссектрису внешнего угла <i>C</i> в точке <i>K</i>. Найдите отношение  <i>AO</i> : <i>OK</i>.

В треугольнике<i> ABC </i>на стороне<i> AC </i>нашлись такие точки<i> D </i>и<i> E </i>, что<i> AB=AD </i>и<i> BE=EC </i>(<i> E </i>между<i> A </i>и<i> D </i>). Точка<i> F </i>– середина дуги<i> BC </i>(не содержащей точки<i> A </i>) окружности, описанной около треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что точки<i> B </i>,<i> E </i>,<i> D </i>и<i> F </i>лежат на одной окружности.

Окружность, вписанная в угол с вершиной<i> O </i>касается его сторон в точках<i> A </i>и<i> B </i>,<i> K </i>– произвольная точка на меньшей из двух дуг<i> AB </i>этой окружности. На прямой<i> OB </i>взята точка<i> L </i>такая, что прямые<i> OA </i>и<i> KL </i>параллельны. Пусть<i> M </i>– точка пересечения окружности, описанной около треугольника<i> KLB </i>, с прямой<i> AK </i>, отличная от<i> K </i>. Докажите, что прямая<i> OM </i>касается окружности.

Серединный перпендикуляр к стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>M</i>. Биссектриса угла <i>AMB</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая, проходящая через центры вписанных окружностей треугольников <i>AKM</i> и <i>BKM</i>, перпендикулярна биссектрисе угла <i>AKB</i>.

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>M</i>, а внутри треугольника <i>AMD</i> точка <i>N</i>, причём  ∠<i>MNA</i> + ∠<i> MCB</i> = ∠<i>MND</i> + ∠<i>MBC</i> = 180°.

Докажите, что прямые <i>MN</i> и <i>AB</i> параллельны.

В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i> сторона <i>AB</i> перпендикулярна стороне <i>CD</i>, а сторона <i>BC</i> – стороне <i>DE</i>.

Докажите, что если  <i>AB = AE = ED</i> = 1,  то  <i>BC + CD</i>  < 1.

В треугольнике <i>ABC</i> окружность, проходящая через вершины <i>A</i> и <i>B</i>, касается прямой <i>BC</i>, а окружность, проходящая через вершины <i>B</i> и <i>C</i>, касается прямой <i>AB</i> и второй раз пересекает первую окружность в точке <i>K</i>. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что угол <i>BKO</i> – прямой.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> биссектриса угла между высотами <i>AA</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Биссектриса угла <i>B</i> пересекает отрезок, соединяющий ортоцентр <i>H</i> треугольника <i>ABC</i> с серединой <i>M</i> стороны <i>AC</i> в точке <i>R</i>. Докажите, что точки <i>P, B, Q</i> и <i>R</i> лежат на одной окружности.

На большей стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>N</i> так, что серединные перпендикуляры к отрезкам <i>AN</i> и <i>NC</i> пересекают стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>K</i> и <i>M</i> соответственно. Докажите, что центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на описанной окружности треугольника <i>KBM</i>.

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>K</i> так, что середина стороны <i>AD</i> равноудалена от точек <i>K</i> и <i>C</i>, а середина стороны <i>CD</i> равноудалена от точек <i>K</i> и <i>A</i>. Точка <i>N</i> – середина отрезка <i>BK</i>. Докажите, что углы <i>NAK</i> и <i>NCK</i> равны.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, вписанный в окружность ω. Касательная к ω, проведённая через точку <i>A</i>, пересекает продолжение стороны <i>BC</i> за точку <i>B</i> в точке <i>K</i>, а касательная к ω, проведённая через точку <i>B</i>, пересекает продолжение стороны <i>AD</i> за точку <i>A</i> в точке <i>M</i>. Известно, что  <i>AM = AD</i>  и  <i>BK = BC</i>.  Докажите, что <i>ABCD</i> – трапеция.

Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, причём  2∠<i>MON</i> = ∠<i>AOC</i>.  Докажите, что периметр треугольника <i> MBN </i> не меньше стороны <i>AC</i>.