Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 8 класса - сложность 3-5 с решениями

На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

Вписанная окружность касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Точка <i>K</i>– середина дуги <i>AB</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> (не содержащей точки <i>C</i>). Оказалось, что прямая <i>XY</i> делит отрезок <i>AK</i> пополам. Чему может быть равен угол <i>BAC</i>?

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

Медианы<i> AA' </i>и<i> BB' </i>треугольника<i> ABC </i>пересекаются в точке<i> M </i>, причем<i> <img src="/storage/problem-media/110762/problem_110762_img_2.gif"> AMB=</i>120<i>^o </i>. Докажите, что углы<i> AB'M </i>и<i> BA'M </i>не могут быть оба острыми или оба тупыми.

Даны натуральные числа<i> p<k<n </i>. На бесконечной клетчатой плоскости отмечены некоторые клетки так, что в любом прямоугольнике (<i>k+</i>1)×<i>n </i>(<i> n </i>клеток по горизонтали,<i> k+</i>1– по вертикали) отмечено ровно<i> p </i>клеток. Докажите, что существует прямоугольник<i> k</i>×(<i>n+</i>1) (где<i> n+</i>1клетка по горизонтали,<i> k </i>– по вертикали), в котором отмечено не менее<i> p+</i>1клетки.

На прямой имеется2<i>n+</i>1отрезок. Любой отрезок пересекается по крайней мере с<i> n </i>другими. Докажите, что существует отрезок, пересекающийся со всеми остальными.

Все клетки клетчатой плоскости окрашены в 5 цветов так, что в любой фигуре вида<center> <img src="/storage/problem-media/110013/problem_110013_img_2.gif"> </center>все цвета различны. Докажите, что и в любой фигуре вида<center> <img src="/storage/problem-media/110013/problem_110013_img_3.gif"> </center>все цвета различны.

Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число.

Докажите, что найдётся пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.

На сторонах <i>AB, BC, CA</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>P, Q, R</i> соответственно таким образом, что  <i>AP = CQ</i>  и четырёхугольник <i>RPBQ</i>– вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>C</i> пересекают прямые <i>RP</i> и <i>RQ</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что  <i>RX = RY</i>.

Петя раскрашивает 2006 точек, расположенных на окружности, в 17 цветов. Затем Коля проводит хорды с концами в отмеченных точках так, чтобы концы любой хорды были одноцветны и хорды не имели общих точек (в том числе и общих концов). При этом Коля хочет провести как можно больше хорд, а Петя старается ему помешать. Какое наибольшее количество хорд заведомо сможет провести Коля?

Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.

На дугах <i>AB</i> и <i>BC</i> окружности, описанной около треугольника <i>ABC</i>, выбраны соответственно точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что прямые <i>KL</i> и <i>AC</i> параллельны.

Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников <i>ABK</i> и <i>CBL</i> равноудалены от середины дуги <i>ABC</i>.

В кабинете президента стоят 2004 телефона, любые два из которых соединены проводом одного из четырёх цветов. Известно, что провода всех четырёх цветов присутствуют. Всегда ли можно выбрать несколько телефонов так, чтобы среди соединяющих их проводов встречались провода ровно трех цветов?

Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных  <i>m, n</i> > 100  сумма чисел в любом прямоугольнике <i>m</i>×<i>n</i> клеток делилась на  <i>m + n</i>?

Клетки таблицы 100×100 окрашены в 4 цвета так, что в каждой строке и в каждом столбце ровно по 25 клеток каждого цвета.

Докажите, что найдутся две строки и два столбца, все четыре клетки на пересечении которых окрашены в разные цвета.

В городе Цветочном<i>n</i>площадей и<i>m</i>улиц  (<i>m</i>≥<i>n</i>+ 1).  Каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. По существующей в городе традиции улица может называться либо Синей, либо Красной. Ежегодно в городе происходит переименование: выбирается площадь и переименовываются все выходящие из неё улицы. Докажите, что можно назвать улицы так, что переименованиями нельзя добиться одинаковых названий у всех улиц города.

Отрезки<i> AB </i>и<i> CD </i>длины 1 пересекаются в точке<i> O </i>, причем<i> <img src="/storage/problem-media/109522/problem_109522_img_2.gif"> AOC=</i>60<i>^o </i>. Докажите, что<i> AC+BD<img src="/storage/problem-media/109522/problem_109522_img_3.gif"></i>1.

Дан параллелограмм <i>ABCD</i> с углом <i>A</i>, равным 60°. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABD</i>. Прямая <i>AO</i> пересекает биссектрису внешнего угла <i>C</i> в точке <i>K</i>. Найдите отношение  <i>AO</i> : <i>OK</i>.

В треугольнике<i> ABC </i>на стороне<i> AC </i>нашлись такие точки<i> D </i>и<i> E </i>, что<i> AB=AD </i>и<i> BE=EC </i>(<i> E </i>между<i> A </i>и<i> D </i>). Точка<i> F </i>– середина дуги<i> BC </i>(не содержащей точки<i> A </i>) окружности, описанной около треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что точки<i> B </i>,<i> E </i>,<i> D </i>и<i> F </i>лежат на одной окружности.

Окружность, вписанная в угол с вершиной<i> O </i>касается его сторон в точках<i> A </i>и<i> B </i>,<i> K </i>– произвольная точка на меньшей из двух дуг<i> AB </i>этой окружности. На прямой<i> OB </i>взята точка<i> L </i>такая, что прямые<i> OA </i>и<i> KL </i>параллельны. Пусть<i> M </i>– точка пересечения окружности, описанной около треугольника<i> KLB </i>, с прямой<i> AK </i>, отличная от<i> K </i>. Докажите, что прямая<i> OM </i>касается окружности.

На диагонали <i>AC</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> выбрана точка <i>K</i>, для которой  <i>KD = DC</i>, ∠<i>BAC</i> = ½ <i>KDC</i>,  ∠<i>DAC</i> = ½ ∠<i>KBC</i>.

Докажите, что  ∠<i>KDA</i> = ∠<i>BCA</i>  или  ∠<i>KDA</i> = ∠<i>KBA</i>.

В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i> сторона <i>AB</i> перпендикулярна стороне <i>CD</i>, а сторона <i>BC</i> – стороне <i>DE</i>.

Докажите, что если  <i>AB = AE = ED</i> = 1,  то  <i>BC + CD</i>  < 1.

В треугольнике <i>ABC</i> окружность, проходящая через вершины <i>A</i> и <i>B</i>, касается прямой <i>BC</i>, а окружность, проходящая через вершины <i>B</i> и <i>C</i>, касается прямой <i>AB</i> и второй раз пересекает первую окружность в точке <i>K</i>. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что угол <i>BKO</i> – прямой.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> биссектриса угла между высотами <i>AA</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Биссектриса угла <i>B</i> пересекает отрезок, соединяющий ортоцентр <i>H</i> треугольника <i>ABC</i> с серединой <i>M</i> стороны <i>AC</i> в точке <i>R</i>. Докажите, что точки <i>P, B, Q</i> и <i>R</i> лежат на одной окружности.

На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника<i> ABC </i>взяты точки<i> A</i>1,<i> B</i>1,<i> C</i>1, отличные от точки пересечения высот<i> H </i>, причём сумма площадей треугольников<i> ABC</i>1,<i> BCA</i>1,<i> CAB</i>1равна площади треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что окружность, описанная около треугольника<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1, проходит через точку<i> H </i>.