Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 7 класса - сложность 2-3 с решениями
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, причём прямая <i>KL</i> параллельна <i>BC</i> и <i>KL = KC</i>. На стороне <i>BC</i> выбрана точка <i>M</i> так, что ∠<i>KMB</i> = ∠<i>BAC</i>. Докажите, что <i>KM = AL</i>. <small>Также доступны документы в формате TeX</small>
Внутри равнобедренного треугольника <i>ABC</i> (<i>AB = BC</i>) выбрана точка <i>M</i> таким образом, что ∠<i>AMC</i> = 2∠<i>B</i>. На отрезке <i>AM</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что
∠<i>BKM</i> = ∠<i>B</i>. Докажите, что <i>BK = KM + MC</i>.
Медианы<i> AA' </i>и<i> BB' </i>треугольника<i> ABC </i>пересекаются в точке<i> M </i>, причем<i> <img src="/storage/problem-media/110762/problem_110762_img_2.gif"> AMB=</i>120<i><sup>o</sup> </i>. Докажите, что углы<i> AB'M </i>и<i> BA'M </i>не могут быть оба острыми или оба тупыми.
На прямой имеется2<i>n+</i>1отрезок. Любой отрезок пересекается по крайней мере с<i> n </i>другими. Докажите, что существует отрезок, пересекающийся со всеми остальными.
Все клетки клетчатой плоскости окрашены в 5 цветов так, что в любой фигуре вида<center> <img src="/storage/problem-media/110013/problem_110013_img_2.gif"> </center>все цвета различны. Докажите, что и в любой фигуре вида<center> <img src="/storage/problem-media/110013/problem_110013_img_3.gif"> </center>все цвета различны.
Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число.
Докажите, что найдётся пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.
Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.
Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.
Отрезки<i> AB </i>и<i> CD </i>длины 1 пересекаются в точке<i> O </i>, причем<i> <img src="/storage/problem-media/109522/problem_109522_img_2.gif"> AOC=</i>60<i><sup>o</sup> </i>. Докажите, что<i> AC+BD<img src="/storage/problem-media/109522/problem_109522_img_3.gif"></i>1.
В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i> сторона <i>AB</i> перпендикулярна стороне <i>CD</i>, а сторона <i>BC</i> – стороне <i>DE</i>.
Докажите, что если <i>AB = AE = ED</i> = 1, то <i>BC + CD</i> < 1.