Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 11 класса - сложность 3 с решениями
На сторонах <i>AP</i> и <i>PD</i> остроугольного треугольника <i>APD</i> выбраны соответственно точки <i>B</i> и <i>C</i>. Диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Точки <i>H</i><sub>1</sub> и <i>H</i><sub>2</sub> являются ортоцентрами треугольников <i>APD</i> и <i>BPC</i> соответственно. Докажите, что если прямая <i>H</i><sub>1</sub><i>H</i><sub>2</sub> проходит через точку <i>X</i> пересечения описанных окружностей треугольников <i>ABQ</i> и <i>CDQ</i>, то она проходит и через точку <i>Y</i> пересечения описанны...
Серединный перпендикуляр к стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>M</i>. Биссектриса угла <i>AMB</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая, проходящая через центры вписанных окружностей треугольников <i>AKM</i> и <i>BKM</i>, перпендикулярна биссектрисе угла <i>AKB</i>.
Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>M</i>, а внутри треугольника <i>AMD</i> точка <i>N</i>, причём ∠<i>MNA</i> + ∠<i> MCB</i> = ∠<i>MND</i> + ∠<i>MBC</i> = 180°.
Докажите, что прямые <i>MN</i> и <i>AB</i> параллельны.
Существует ли выпуклый многоугольник, у которого длины всех сторон равны, а любые три вершины образуют тупоугольный треугольник?
У тетраэдра <i>ABCD</i> сумма площадей двух граней (с общим ребром <i>AB</i>) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром <i>CD</i>). Докажите, что середины рёбер <i>BC, AD, AC</i> и <i>BD</i> лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр <i>ABCD</i>.
Дан параллелограмм <i>ABCD</i>, в котором <i>AB < AC < BC</i>. Точки <i>E</i> и <i>F</i> выбраны на описанной окружности ω треугольника <i>ABC</i> так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку <i>D</i>; при этом отрезки <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются. Оказалось, что ∠<i>ABF</i> = ∠<i>DCE</i>. Найдите угол <i>ABC</i>.
Пусть <i>AL</i> – биссектриса треугольника <i>ABC</i>. Серединный перпендикуляр к отрезку<i>AL</i> пересекает описанную окружность Ω треугольника <i>ABC</i>, в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>PLQ</i>, касается стороны <i>BC</i>.