Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями

На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

На прямой имеется2<i>n+</i>1отрезок. Любой отрезок пересекается по крайней мере с<i> n </i>другими. Докажите, что существует отрезок, пересекающийся со всеми остальными.

Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число.

Докажите, что найдётся пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.

Петя раскрашивает 2006 точек, расположенных на окружности, в 17 цветов. Затем Коля проводит хорды с концами в отмеченных точках так, чтобы концы любой хорды были одноцветны и хорды не имели общих точек (в том числе и общих концов). При этом Коля хочет провести как можно больше хорд, а Петя старается ему помешать. Какое наибольшее количество хорд заведомо сможет провести Коля?

Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.

На дугах <i>AB</i> и <i>BC</i> окружности, описанной около треугольника <i>ABC</i>, выбраны соответственно точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что прямые <i>KL</i> и <i>AC</i> параллельны.

Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников <i>ABK</i> и <i>CBL</i> равноудалены от середины дуги <i>ABC</i>.

На сторонах <i>AP</i> и <i>PD</i> остроугольного треугольника <i>APD</i> выбраны соответственно точки <i>B</i> и <i>C</i>. Диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Точки <i>H</i>₁ и <i>H</i>₂ являются ортоцентрами треугольников <i>APD</i> и <i>BPC</i> соответственно. Докажите, что если прямая <i>H</i>₁<i>H</i>₂ проходит через точку <i>X</i> пересечения описанных окружностей треугольников <i>ABQ</i> и <i>CDQ</i>, то она проходит и через точку <i>Y</i> пересечения описанны...

В городе Цветочном<i>n</i>площадей и<i>m</i>улиц  (<i>m</i>≥<i>n</i>+ 1).  Каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. По существующей в городе традиции улица может называться либо Синей, либо Красной. Ежегодно в городе происходит переименование: выбирается площадь и переименовываются все выходящие из неё улицы. Докажите, что можно назвать улицы так, что переименованиями нельзя добиться одинаковых названий у всех улиц города.

Серединный перпендикуляр к стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>M</i>. Биссектриса угла <i>AMB</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая, проходящая через центры вписанных окружностей треугольников <i>AKM</i> и <i>BKM</i>, перпендикулярна биссектрисе угла <i>AKB</i>.

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>M</i>, а внутри треугольника <i>AMD</i> точка <i>N</i>, причём  ∠<i>MNA</i> + ∠<i> MCB</i> = ∠<i>MND</i> + ∠<i>MBC</i> = 180°.

Докажите, что прямые <i>MN</i> и <i>AB</i> параллельны.

В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i> сторона <i>AB</i> перпендикулярна стороне <i>CD</i>, а сторона <i>BC</i> – стороне <i>DE</i>.

Докажите, что если  <i>AB = AE = ED</i> = 1,  то  <i>BC + CD</i>  < 1.

На большей стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>N</i> так, что серединные перпендикуляры к отрезкам <i>AN</i> и <i>NC</i> пересекают стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>K</i> и <i>M</i> соответственно. Докажите, что центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на описанной окружности треугольника <i>KBM</i>.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, вписанный в окружность ω. Касательная к ω, проведённая через точку <i>A</i>, пересекает продолжение стороны <i>BC</i> за точку <i>B</i> в точке <i>K</i>, а касательная к ω, проведённая через точку <i>B</i>, пересекает продолжение стороны <i>AD</i> за точку <i>A</i> в точке <i>M</i>. Известно, что  <i>AM = AD</i>  и  <i>BK = BC</i>.  Докажите, что <i>ABCD</i> – трапеция.

Существует ли выпуклый многоугольник, у которого длины всех сторон равны, а любые три вершины образуют тупоугольный треугольник?

Точка <i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC, M</i> – середина стороны <i>AC</i>, а <i>W</i> – середина дуги <i>AB</i> описанной окружности, не содержащей <i>C</i>. Оказалось, что  ∠<i>AIM</i> = 90°.  В каком отношении точка <i>I</i> делит отрезок <i>CW</i>?

Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка <i>X</i>, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают ещё не отмеченные вершины 100-угольника, причём Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка <i>X</i> будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася.

Квадрат разбит на  <i>n</i>² ≥ 4  прямоугольников  2(<i>n</i> – 1)  прямыми, из которых  <i>n</i> – 1  параллельны одной стороне квадрата, а остальные  <i>n</i> – 1  – другой. Докажите, что можно выбрать 2<i>n</i> прямоугольников разбиения таким образом, что для каждых двух выбранных прямоугольников один из них можно поместить в другой (возможно, предварительно повернув).

Из клетчатого бумажного квадрата 100×100 вырезали по границам клеток 1950 доминошек (двуклеточных прямоугольников). Докажите, что из оставшейся части можно вырезать по границам клеток четырёхклеточную фигурку вида <b>Т</b> – возможно, повёрнутую. (Если такая фигурка уже есть среди оставшихся частей, считается, что её получилось вырезать.)

У тетраэдра <i>ABCD</i> сумма площадей двух граней (с общим ребром <i>AB</i>) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром <i>CD</i>). Докажите, что середины рёбер <i>BC, AD, AC</i> и <i>BD</i> лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр <i>ABCD</i>.

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>, в котором  <i>AB < AC < BC</i>.  Точки <i>E</i> и <i>F</i> выбраны на описанной окружности ω треугольника <i>ABC</i> так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку <i>D</i>; при этом отрезки <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются. Оказалось, что  ∠<i>ABF</i> = ∠<i>DCE</i>.  Найдите угол <i>ABC</i>.

Пусть <i>AL</i> – биссектриса треугольника <i>ABC</i>. Серединный перпендикуляр к отрезку<i>AL</i> пересекает описанную окружность Ω треугольника <i>ABC</i>, в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>PLQ</i>, касается стороны <i>BC</i>.

На стороне <i>AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> нашлась такая точка <i>M</i>, что <i>CM</i> и <i>BM</i> параллельны <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно.

Докажите, что  <i>S_ABCD</i> ≥ 3<i>S_BCM</i>.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD  AB = BC</i>.  На диагонали <i>BD</i> выбрана такая точка <i>K</i>, что  ∠<i>AKB</i> + ∠<i>BKC</i> = ∠<i>A</i> + ∠<i>C</i>.

Докажите, что  <i>AK·CD = KC·AD</i>.

В выпуклом <i>n</i>-угольнике проведено несколько диагоналей. Проведённая диагональ называется <i>хорошей</i>, если она пересекается (по внутренним точкам) ровно с одной из других проведённых диагоналей. Найдите наибольшее возможное количество хороших диагоналей.

Из клетчатого квадрата 55×55 вырезали по границам клеток 400 трёхклеточных уголков  <img align="middle" src="/storage/problem-media/64351/problem_64351_img_2.gif">  (повёрнутых как угодно) и ещё 500 клеток. Докажите, что какие-то две вырезанные фигуры имеют общий отрезок границы.