Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» - сложность 3 с решениями
Даны три квадратных трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>) и <i>R</i>(<i>x</i>) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена <i>R</i>(<i>x</i>) в многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>) получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>) в многочлен <i>Q</i>(<i>x</i>) + <i>R</i>(<i>x</i>) получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена <i>Q</i>(<i>x</i>) в многочлен <i>P</i>(<i&g...
Вася нарисовал на плоскости несколько окружностей и провёл всевозможные общие касательные к каждой паре этих окружностей. Оказалось, что проведённые прямые содержат все стороны некоторого правильного 2011-угольника. Какое наименьшее количество окружностей мог нарисовать Вася?
Дан набор из<i> n></i>2векторов. Назовем вектор набора длинным, если его длина не меньше длины суммы остальных векторов набора. Докажите, что если каждый вектор набора– длинный, то сумма всех векторов набора равна нулю.
У двух треугольников равны наибольшие стороны и равны наименьшие углы. Строится новый треугольник со сторонами, равными суммам соответствующих сторон данных треугольников (складываются наибольшие стороны двух треугольников, средние по длине стороны и наименьшие стороны). Докажите, что площадь нового треугольника не меньше удвоенной суммы площадей исходных.
В клетчатом квадрате 101×101 каждая клетка внутреннего квадрата 99×99 покрашена в один из десяти цветов (клетки, примыкающие к границе квадрата, не покрашены). Может ли оказаться, что в каждом квадрате 3×3 в цвет центральной клетки покрашена еще ровно одна клетка?
В остроугольном треугольнике расстояние от середины каждой стороны до противоположной вершины равно сумме расстояний от неё до сторон треугольника. Докажите, что этот треугольник – равносторонний.
Найдите все углы<i> α </i>, для которых набор чисел<i> sinα </i>,<i> sin</i>2<i>α </i>,<i> sin</i>3<i>α </i>совпадает с набором<i> cosα </i>,<i> cos</i>2<i>α </i>,<i> cos</i>3<i>α </i>.
Приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами в трёх последовательных целых точках принимает простые значения.
Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще в одной целой точке.
Высота четырехугольной пирамиды<i> SABCD </i>проходит через точку пересечения диагоналей ее основания<i> ABCD </i>. Из вершин основания опущены перпендикуляры<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1на прямые<i> SC </i>,<i> SD </i>,<i> SA </i>и<i> SB </i>соответственно. Оказалось, что точки<i> S </i>,<i> A</i>1,<i> B</i>1,<i> C</i>1,<i> D</i>1различны и лежат на одной сфере. Докажите, что прямые<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1проходят через одну точку.
Длины сторон многоугольника равны <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>. Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) таков, что <i>f</i>(<i>a</i><sub>1</sub>) = <i>f</i>(<i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub></i>).
Докажите, что если <i>A</i> – сумма длин нескольких сторон многоугольника, <i>B</i> – сумма длин остальных его сторон, то <i>f</i>(<i>A</i>) = <i>f</i>(<i>B</i>).
Существуют ли выпуклая<i> n </i>-угольная (<i> n<img src="/storage/problem-media/109911/problem_109911_img_2.gif"> </i>4) и треугольная пирамиды такие, что четыре трехгранных угла<i> n </i>-угольной пирамиды равны трехгранным углам треугольной пирамиды?
Каждую сторону выпуклого четырёхугольника продолжили в обе стороны и на всех восьми продолжениях отложили равные между собой отрезки. Оказалось, что получившиеся восемь точек – внешние концы построенных отрезков – различны и лежат на одной окружности. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат.
Докажите, что остроугольный треугольник полностью покрывается тремя квадратами, построенными на его сторонах как на диагоналях.
Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество <i>A</i>, состоящее из натуральных чисел, <i> полным</i>, если для любых натуральных <i>a</i> и <i>b</i> (не обязательно различных и не обязательно лежащих в <i>A</i>), при которых <i>a + b</i> лежит в <i>A</i>, число <i>ab</i> также лежит в <i>A</i>. Найдите все полные множества натуральных чисел.
На двух сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> правильного 2<i>n</i>-угольника взято по точке <i>K</i> и <i>N</i>, причём угол <i>KEN</i>, где <i>E</i> – вершина, противоположная <i>B</i>, равен <sup>180°</sup>/<sub>2<i>n</i></sub>. Докажите, что <i>NE</i> – биссектриса угла <i>KNC</i>.