Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» - сложность 2-3 с решениями

Даны три квадратных трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>) и <i>R</i>(<i>x</i>) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена <i>R</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)  получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>Q</i>(<i>x</i>) + <i>R</i>(<i>x</i>)  получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена <i>Q</i>(<i>x</i>) в многочлен  <i>P</i>(<i&g...

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i> с гипотенузой <i>AB</i>, касается его сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Пусть <i>B</i>₁<i>H</i> – высота треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что точка <i>H</i> лежит на биссектрисе угла <i>CAB</i>.

Через вершины основания четырёхугольной пирамиды <i>SABCD</i> проведены прямые, параллельные противоположным боковым рёбрам (через вершину <i>A</i> – параллельно <i>SC</i>, и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – параллелограмм.

Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?

Вася нарисовал на плоскости несколько окружностей и провёл всевозможные общие касательные к каждой паре этих окружностей. Оказалось, что проведённые прямые содержат все стороны некоторого правильного 2011-угольника. Какое наименьшее количество окружностей мог нарисовать Вася?

Дан набор из<i> n></i>2векторов. Назовем вектор набора длинным, если его длина не меньше длины суммы остальных векторов набора. Докажите, что если каждый вектор набора– длинный, то сумма всех векторов набора равна нулю.

В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны.

Докажите, что все восемь отрезков равны.

У двух треугольников равны наибольшие стороны и равны наименьшие углы. Строится новый треугольник со сторонами, равными суммам соответствующих сторон данных треугольников (складываются наибольшие стороны двух треугольников, средние по длине стороны и наименьшие стороны). Докажите, что площадь нового треугольника не меньше удвоенной суммы площадей исходных.

В клетчатом квадрате 101×101 каждая клетка внутреннего квадрата 99×99 покрашена в один из десяти цветов (клетки, примыкающие к границе квадрата, не покрашены). Может ли оказаться, что в каждом квадрате 3×3 в цвет центральной клетки покрашена еще ровно одна клетка?

Косинусы углов одного треугольника соответственно равны синусам углов другого треугольника.

Найдите наибольший из шести углов этих треугольников.

В остроугольном треугольнике расстояние от середины каждой стороны до противоположной вершины равно сумме расстояний от неё до сторон треугольника. Докажите, что этот треугольник – равносторонний.

Найдите все углы<i> α </i>, для которых набор чисел<i> sinα </i>,<i> sin</i>2<i>α </i>,<i> sin</i>3<i>α </i>совпадает с набором<i> cosα </i>,<i> cos</i>2<i>α </i>,<i> cos</i>3<i>α </i>.

Приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами в трёх последовательных целых точках принимает простые значения.

Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще в одной целой точке.

Высота четырехугольной пирамиды<i> SABCD </i>проходит через точку пересечения диагоналей ее основания<i> ABCD </i>. Из вершин основания опущены перпендикуляры<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1на прямые<i> SC </i>,<i> SD </i>,<i> SA </i>и<i> SB </i>соответственно. Оказалось, что точки<i> S </i>,<i> A</i>1,<i> B</i>1,<i> C</i>1,<i> D</i>1различны и лежат на одной сфере. Докажите, что прямые<i> AA</i>1,<i> BB</i>1,<i> CC</i>1,<i> DD</i>1проходят через одну точку.

Длины сторон многоугольника равны  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>.  Квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) таков, что  <i>f</i>(<i>a</i>₁) = <i>f</i>(<i>a</i>₂ + ... + <i>a_n</i>).

Докажите, что если <i>A</i> – сумма длин нескольких сторон многоугольника, <i>B</i> – сумма длин остальных его сторон, то  <i>f</i>(<i>A</i>) = <i>f</i>(<i>B</i>).

Существуют ли выпуклая<i> n </i>-угольная (<i> n<img src="/storage/problem-media/109911/problem_109911_img_2.gif"> </i>4) и треугольная пирамиды такие, что четыре трехгранных угла<i> n </i>-угольной пирамиды равны трехгранным углам треугольной пирамиды?

Дан треугольник <i>ABC</i>. Точка <i>A</i>₁ симметрична вершине <i>A</i> относительно прямой <i>BC</i>, а точка <i>C</i>₁ симметрична вершине <i>C</i> относительно прямой <i>AB</i>.

Докажите, что если точки <i>A</i>₁, <i>B</i> и <i>C</i>₁ лежат на одной прямой и  <i>C</i>₁<i>B</i> = 2<i>A</i>₁<i>B</i>,  то угол <i>CA</i>₁<i>B</i> – прямой.

Каждую сторону выпуклого четырёхугольника продолжили в обе стороны и на всех восьми продолжениях отложили равные между собой отрезки. Оказалось, что получившиеся восемь точек – внешние концы построенных отрезков – различны и лежат на одной окружности. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат.

Пусть <i>ABCD</i> – четырёхугольник с параллельными сторонами <i>AD</i> и <i>BC; M</i> и <i>N</i> – середины его сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно. Прямая <i>MN</i> делит пополам отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около треугольников <i>ABC</i> и <i>ADC</i>. Докажите, что <i>ABCD</i> – параллелограмм.

Докажите, что остроугольный треугольник полностью покрывается тремя квадратами, построенными на его сторонах как на диагоналях.

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен степени  <i>n</i> ≥ 2  с неотрицательными коэффициентами, а <i>a, b</i> и <i>c</i> – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.

Докажите, что числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66160/problem_66160_img_2.gif">  также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество <i>A</i>, состоящее из натуральных чисел, <i> полным</i>, если для любых натуральных <i>a</i> и <i>b</i> (не обязательно различных и не обязательно лежащих в <i>A</i>), при которых  <i>a + b</i>  лежит в <i>A</i>, число <i>ab</i> также лежит в <i>A</i>. Найдите все полные множества натуральных чисел.

На двух сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> правильного 2<i>n</i>-угольника взято по точке <i>K</i> и <i>N</i>, причём угол <i>KEN</i>, где <i>E</i> – вершина, противоположная <i>B</i>, равен ^180°/_2<i>n</i>. Докажите, что <i>NE</i> – биссектриса угла <i>KNC</i>.

Клетки доски 2001×2001 раскрашены в шахматном порядке в чёрный и белый цвета так, что угловые клетки чёрные. Для каждой пары разноцветных клеток рисуется вектор, идущий из центра чёрной клетки в центр белой. Докажите, что сумма нарисованных векторов равна 0.