Задача № 2169418 класс9 класс10 класс3 / 5
Даны три квадратных трёхчлена P(x), Q(x) и R(x) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена R(x) в многочлен P(x) + Q(x) получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена P(x) в многочлен Q(x) + R(x) получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена Q(x) в многочлен P(x) + R(x) получаются равные значения. Докажите, что три числа: сумма корней трёхчлена P(x), сумма корней трёхчлена Q(x) и сумма корней трёхчлена R(x) равны между собой.
Задача № 2169328 класс9 класс10 класс2 / 5
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, касается его сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Пусть B1H – высота треугольника A1B1C1. Докажите, что точка H лежит на биссектрисе угла CAB.
Задача № 2165968 класс9 класс10 класс2 / 5
Через вершины основания четырёхугольной пирамиды SABCD проведены прямые, параллельные противоположным боковым рёбрам (через вершину A – параллельно SC, и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.
Задача № 2165918 класс9 класс10 класс2 / 5
Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?
Задача № 21656910 класс11 класс3 / 5
Вася нарисовал на плоскости несколько окружностей и провёл всевозможные общие касательные к каждой паре этих окружностей. Оказалось, что проведённые прямые содержат все стороны некоторого правильного 2011-угольника. Какое наименьшее количество окружностей мог нарисовать Вася?
Задача № 2118669 класс10 класс11 класс5 / 5
Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольникаA1A2...A2008, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.
Задача № 2118389 класс10 класс11 класс3 / 5
Дан набор из n>2векторов. Назовем вектор набора длинным, если его длина не меньше длины суммы остальных векторов набора. Докажите, что если каждый вектор набора– длинный, то сумма всех векторов набора равна нулю.
Задача № 2117867 класс8 класс9 класс2 / 5
В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны. Докажите, что все восемь отрезков равны.
Задача № 2117818 класс9 класс3 / 5
У двух треугольников равны наибольшие стороны и равны наименьшие углы. Строится новый треугольник со сторонами, равными суммам соответствующих сторон данных треугольников (складываются наибольшие стороны двух треугольников, средние по длине стороны и наименьшие стороны). Докажите, что площадь нового треугольника не меньше удвоенной суммы площадей исходных.
Задача № 2102247 класс8 класс9 класс3 / 5
В клетчатом квадрате 101×101 каждая клетка внутреннего квадрата 99×99 покрашена в один из десяти цветов (клетки, примыкающие к границе квадрата, не покрашены). Может ли оказаться, что в каждом квадрате 3×3 в цвет центральной клетки покрашена еще ровно одна клетка?
Задача № 2101799 класс10 класс11 класс2 / 5
Косинусы углов одного треугольника соответственно равны синусам углов другого треугольника. Найдите наибольший из шести углов этих треугольников.
Задача № 2101677 класс8 класс9 класс3 / 5
В остроугольном треугольнике расстояние от середины каждой стороны до противоположной вершины равно сумме расстояний от неё до сторон треугольника. Докажите, что этот треугольник – равносторонний.
Задача № 2101259 класс10 класс11 класс3 / 5
Найдите все углы α , для которых набор чисел sinα , sin2α , sin3α совпадает с набором cosα , cos2α , cos3α .
Задача № 2101008 класс9 класс10 класс3 / 5
Приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами в трёх последовательных целых точках принимает простые значения. Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще в одной целой точке.
Задача № 2100909 класс10 класс11 класс4 / 5
На плоскости даны n>1точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
Задача № 21008610 класс11 класс3 / 5
Высота четырехугольной пирамиды SABCD проходит через точку пересечения диагоналей ее основания ABCD . Из вершин основания опущены перпендикуляры AA1, BB1, CC1, DD1на прямые SC , SD , SA и SB соответственно. Оказалось, что точки S , A1, B1, C1, D1различны и лежат на одной сфере. Докажите, что прямые AA1, BB1, CC1, DD1проходят через одну точку.
Задача № 2100628 класс9 класс10 класс3 / 5
Длины сторон многоугольника равны a1, a2, ..., an. Квадратный трёхчлен f(x) таков, что f(a1) = f(a2 + ... + an). Докажите, что если A – сумма длин нескольких сторон многоугольника, B – сумма длин остальных его сторон, то f(A) = f(B).
Задача № 20991110 класс11 класс3 / 5
Существуют ли выпуклая n -угольная ( n 4) и треугольная пирамиды такие, что четыре трехгранных угла n -угольной пирамиды равны трехгранным углам треугольной пирамиды?
Задача № 20977710 класс11 класс4 / 5
Длины сторон треугольника являются корнями кубического уравнения с рациональными коэффициентами. Докажите, что длины высот треугольника являются корнями уравнения шестой степени с рациональными коэффициентами.
Задача № 20964310 класс11 класс4 / 5
Сфера, вписанная в тетраэдр, касается одной из его граней в точке пересечения биссектрис, другой – в точке пересечения высот, третьей – в точке пересечения медиан. Докажите, что тетраэдр правильный.
Задача № 20961810 класс11 класс4 / 5
Докажите, что при n ≥ 5 сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник, не может являться правильным (n+1)-угольником.
Задача № 2082397 класс8 класс9 класс2 / 5
Дан треугольник ABC. Точка A1 симметрична вершине A относительно прямой BC, а точка C1 симметрична вершине C относительно прямой AB. Докажите, что если точки A1, B и C1 лежат на одной прямой и C1B = 2A1B, то угол CA1B – прямой.
Задача № 2082148 класс9 класс3 / 5
Каждую сторону выпуклого четырёхугольника продолжили в обе стороны и на всех восьми продолжениях отложили равные между собой отрезки. Оказалось, что получившиеся восемь точек – внешние концы построенных отрезков – различны и лежат на одной окружности. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат.
Задача № 2082098 класс9 класс2 / 5
Пусть ABCD – четырёхугольник с параллельными сторонами AD и BC; M и N – середины его сторон AB и CD соответственно. Прямая MN делит пополам отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около треугольников ABC и ADC. Докажите, что ABCD – параллелограмм.
Задача № 2081767 класс8 класс9 класс3 / 5
Докажите, что остроугольный треугольник полностью покрывается тремя квадратами, построенными на его сторонах как на диагоналях.