Олимпиадные задачи по теме «Геометрия» для 9 класса - сложность 2 с решениями
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i> с гипотенузой <i>AB</i>, касается его сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> соответственно. Пусть <i>B</i><sub>1</sub><i>H</i> – высота треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что точка <i>H</i> лежит на биссектрисе угла <i>CAB</i>.
Через вершины основания четырёхугольной пирамиды <i>SABCD</i> проведены прямые, параллельные противоположным боковым рёбрам (через вершину <i>A</i> – параллельно <i>SC</i>, и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – параллелограмм.
Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?
В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны.
Докажите, что все восемь отрезков равны.
Косинусы углов одного треугольника соответственно равны синусам углов другого треугольника.
Найдите наибольший из шести углов этих треугольников.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Точка <i>A</i><sub>1</sub> симметрична вершине <i>A</i> относительно прямой <i>BC</i>, а точка <i>C</i><sub>1</sub> симметрична вершине <i>C</i> относительно прямой <i>AB</i>.
Докажите, что если точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i> и <i>C</i><sub>1</sub> лежат на одной прямой и <i>C</i><sub>1</sub><i>B</i> = 2<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i>, то угол <i>CA</i><sub>1</sub><i>B</i> – прямой.
Пусть <i>ABCD</i> – четырёхугольник с параллельными сторонами <i>AD</i> и <i>BC; M</i> и <i>N</i> – середины его сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно. Прямая <i>MN</i> делит пополам отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около треугольников <i>ABC</i> и <i>ADC</i>. Докажите, что <i>ABCD</i> – параллелограмм.
Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен степени <i>n</i> ≥ 2 с неотрицательными коэффициентами, а <i>a, b</i> и <i>c</i> – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66160/problem_66160_img_2.gif"> также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.
Клетки доски 2001×2001 раскрашены в шахматном порядке в чёрный и белый цвета так, что угловые клетки чёрные. Для каждой пары разноцветных клеток рисуется вектор, идущий из центра чёрной клетки в центр белой. Докажите, что сумма нарисованных векторов равна 0.